Fonctions et Graphes

Introduction

Les fonctions permettent de modéliser des situations variées. Nous étudierons ici quatre types : les fonctions affines, quadratiques, cubiques et racine carrée, en découvrant leurs expressions, représentations graphiques et propriétés principales.

1. Fonctions affines

Définition

Une fonction affine s’écrit : f(x) = ax + b, où a et b sont des réels. Elle représente une droite.

Représentation graphique

La droite coupe l’axe des ordonnées en b, et sa pente est donnée par a.

Exemple

f(x) = 2x + 1 : une droite avec pente 2 et ordonnée à l’origine 1.

2. Fonctions quadratiques

Définition

Une fonction quadratique s’écrit : f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.

Représentation graphique

C’est une parabole. Son « sommet » est le point le plus haut ou le plus bas.

Exemple

f(x) = x² - 4x + 3 : parabole tournant vers le haut.

Propriétés

• Symétrie par rapport à la droite verticale du sommet.
• Le sommet a pour coordonnées (-b/2a, f(-b/2a)).

3. Fonctions cubiques

Définition

Une fonction cubique s’écrit : f(x) = ax³ + bx² + cx + d, avec a ≠ 0.

Représentation graphique

Son graphe peut avoir une ou plusieurs inflexions, avec des variations possibles (maxima, minima).

Exemple

f(x) = x³ - 3x + 1

4. Fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée s’écrit : f(x) = √x, définie pour x ≥ 0.

Représentation graphique

Courbe décroissante dans le premier quadrant, croissante et concave vers le haut.

Propriétés

• Valide uniquement pour x ≥ 0.
• f(0) = 0.

Conclusion

Ces fonctions sont fondamentales en mathématiques pour modéliser et analyser des phénomènes variés. Leur étude permet de comprendre leurs propriétés, graphiques et applications.