Fonctions et Graphes - Sujet Bac 2024

Introduction

Les fonctions sont comme des machines : elles prennent une valeur d'entrée et donnent une valeur de sortie. Le graphique d'une fonction est une représentation visuelle de cette machine sur un repère. Comprendre ces notions est essentiel pour réussir l'épreuve de mathématiques du bac.

1. La définition d'une fonction

Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) un seul nombre \(f(x)\). Par exemple, la fonction carré \(f(x) = x^2\) envoie un nombre \(x\) vers son carré.

2. Représenter une fonction par son graphique

Le graphique est un tracé dans un repère cartésien. Chaque point du graphique est de la forme \((x, f(x))\). C'est comme une carte où chaque position est liée à une valeur spécifique, permettant de visualiser comment la fonction évolue.

3. Étude de la variation d'une fonction

• Croissance : la fonction augmente, le graphique monte lorsque \(f'(x) > 0\).
• Décroissance : la fonction diminue, le graphique descend lorsque \(f'(x) < 0\).

Exemple : si \(f(x) = -x^2 + 4\), la parabole est ouverte vers le bas, en décroissance après son sommet.

4. La courbe représentative

Une courbe permet d'observer les points clés : maximum, minimum, points d'inflexion. Ces points sont déterminés par l'étude de la dérivée \(f'\) et de la dérivée seconde \(f''\).

5. Résoudre des problèmes avec les fonctions

Pour répondre à un sujet de bac, il faut souvent :

• Représenter le graphique à partir d'une formule donnée.
• Étudier la croissance ou décroissance.
• Déterminer les extremums.
• Resoudre une inéquation en lien avec la fonction.

6. Exemple d’application

Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). Étudions sa croissance :

Calcul de la dérivée :
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)\).
Elle est nulle en \(x = \pm 1\).
Elle est positive quand \(x < -1\) ou \(x > 1\) et négative entre -1 et 1.
Cela indique que la fonction est décroissante sur \([-1,1]\) et croissante avant \(-1\) et après \(1\).

Conclusion

Maîtriser la représentation graphique et l'étude de variation des fonctions est essentiel pour répondre efficacement aux questions du bac en mathématiques. Pensez à toujours bien analyser la dérivée pour comprendre le comportement de votre fonction.