Introduction

Une fonction est une relation qui associe à chaque valeur d'une variable un unique résultat. Les fonctions sont fondamentales pour modéliser de nombreux phénomènes mathématiques et scientifiques.

Définition d'une fonction

Une fonction \(f\) de l'ensemble \(E\) vers l'ensemble \(F\) est une règle qui à chaque élément \(x\) de \(E\) associe un élément unique \(f(x)\) dans \(F\). On note :

f : E 
ightarrow F

Représentation graphique

Le graphe d'une fonction \(f\) est l'ensemble des points \((x, f(x))\) dans le plan. C'est une représentation visuelle qui permet d'analyser le comportement de la fonction.

Exemple : fonction affine \(f(x) = ax + b\) dont le graphe est une droite.

Étude de différentes fonctions

Fonction affine

Forme : \(f(x) = ax + b\)

Graphe : droite passant par le point \((0, b)\) avec une pente \(a\).

Fonction quadratique

Forme : \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Graphe : parabole dont le sommet se trouve en \(\left(-rac{b}{2a}, f\left(-rac{b}{2a} ight) ight)\).

Fonction racine

Forme : \(f(x) = \sqrt{x}\), définie sur \([0, +\infty[\).

Graphe : une courbe croissante à partir de l'origine.

Fonction exponentielle

Forme : \(f(x) = a^x\) avec \(a > 0\), \(a eq 1\).

Graphe : une courbe croissante (pour \(a > 1\)) ou décroissante (pour \(0 < a < 1\)).

Analyse du graphe

Les éléments essentiels :

• Les points d'intersection avec l'axe des abscisses (zéros de la fonction).
• Le sens de variation (croissante ou décroissante).
• Les extremums locaux (maximum ou minimum).
• Les asymptotes (horizontales, verticales ou obliques).

Exemple : Étude de la fonction affine \(f(x) = 2x - 1\). Le graphe est une droite croissante passant par \((-1, -3)\).