1. Tracé point par point

Le tracé graphique d’une fonction consiste à représenter tous ses points (x, y) où y = f(x).

Technique :

1. Choisir plusieurs valeurs de x.
2. Calculer la valeur correspondante y = f(x).
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3. Placer chaque point (x, y) sur le repère.
4. Relier ces points pour obtenir une courbe continue.

Exemple: Si \(f(x) = x^2\), choisir x = -2, -1, 0, 1, 2. Calculs : \(f(-2)=4\), \(f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(2)=4\). On trace ces points et on relie.

2. Étude des variations

Elle permet de connaître où la fonction monte ou descend.

Étapes :

• Calculer la dérivée : \(f'(x)\).
• Étudier le signe : - Si \(f'(x) > 0\), la fonction est croissante (monte). - Si \(f'(x) < 0\), elle est décroissante (descend).
• Rechercher les extrema : points où \(f'(x) = 0\), c’est-à-dire les éventuels maximas ou minimas.

Exemple : Si \(f(x) = x^3 - 3x\), alors \(f'(x) = 3x^2 - 3\). Résoudre \(f'(x)=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x= \pm 1\).

Tester le signe dans chaque intervalles pour déterminer les variations.

3. Images et antécédents

Image d’un ensemble : l’ensemble des valeurs \(f(x)\) lorsque \(x\) parcourt un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\).

Antécédent d’une valeur : ensemble des \(x\) tels que \(f(x)\) = valeur donnée.

Exemple : si \(f(x) = x^2\), alors l’image de \(\mathbb{R}\) est \([0, +\infty[\).
L’antécédent de 4 est \(\{-2, 2\}\).

Comprendre ces notions est essentiel pour analyser le comportement d’une fonction et ses représentations graphiques.