Fonctions et graphes — Tracé point par point, images et antécédents
Savoir tracer une fonction point par point, calculer images et antécédents, et repérer où la fonction est croissante ou décroissante.
Fonctions et graphes — Tracé point par point, images et antécédents
Objectifs
- Tracer une courbe à partir d'un tableau de valeurs.
- Calculer l'image \(f(x)\) d'un réel et trouver les antécédents d'une valeur.
- Étudier les variations : savoir dire si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle.
Tracé point par point
Définition : pour tracer la courbe d'une fonction \(f\), on choisit quelques abscisses \(x\), on calcule les images \(f(x)\), on place les points \((x,f(x))\) puis on relie de façon lisible si l'on suppose une courbe continue.
Exemple résolu — tracer \(f(x)=x^2-2x+1\)
Cherche d'abord les images pour \(x=-1,0,1,2\).
Voir la solution
Calculs :
\[ \begin{align} f(-1)&=(-1)^2-2(-1)+1=1+2+1=4,\\ f(0)&=0^2-2\cdot0+1=1,\\ f(1)&=1^2-2\cdot1+1=0,\\ f(2)&=2^2-2\cdot2+1=1. \end{align} \]On place les points \((-1,4),(0,1),(1,0),(2,1)\) et on relie.
Quel est le point correspondant à \(x=1\) pour la fonction ci-dessus ?
Images et antécédents
Définitions : pour une fonction \(f\) et un réel \(x\), l'image de \(x\) est \(f(x)\). Un antécédent d'une valeur \(y\) est un réel \(a\) tel que \(f(a)=y\).
Exemple résolu — fonction linéaire
Soit \(g(x)=2x+1\).
Calculer \(g(3)\) et trouver l'antécédent de 5.
Voir la solution
\[ \begin{align} g(3)&=2\cdot3+1=7,\\ \text{pour }g(x)=5&:\quad 2x+1=5\Longrightarrow 2x=4\Longrightarrow x=2. \end{align} \]L'image de 3 est 7 ; l'antécédent de 5 est 2.
Visualisez une droite et changez les paramètres :
Si \(h(x)=3x-2\), quelle est l'image de \(0\) ?
Étude des variations
Définition : une fonction \(f\) est dite croissante sur un intervalle \(I\) si pour tous \(x_1,x_2\in I\) tels que \(x_1 Sur \(\mathbb{R}\) elle n'est pas monotone. Mais sur \([0,+\infty[\) elle est croissante, et sur \(( -\infty,0]\) elle est décroissante.Exemple — fonction quadratique \(p(x)=x^2\)
Sur quel intervalle \(x\mapsto x^2\) est-elle décroissante ?
Erreurs fréquentes
- Ne pas vérifier le domaine de définition : un antécédent peut ne pas exister si la valeur visée n'est pas dans l'image de \(f\).
- Tracer trop peu de points pour une fonction qui varie vite : augmente le nombre d'abscisses testées.
- Relier des points par des segments droits si la fonction attendue est courbe : privilégier une courbe lisse.
Si une équation \(f(x)=y\) n'a pas de solution, que dire ?
Récapitulatif
- Tracer = calculer un tableau de valeurs puis placer les points \((x,f(x))\).
- Image : \(y=f(x)\). Antécédent : résoudre \(f(x)=y\).
- Variations : préciser l'intervalle et vérifier l'inégalité correspondante.
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