Introduction

Les fonctions sont des outils fondamentaux en mathématiques. Elles permettent de relier des éléments d'un ensemble à ceux d'un autre. Selon la façon dont elles associent ces éléments, une fonction peut être injective, surjective ou bijective.

Définition d'une fonction

Une fonction \(f\) de l'ensemble \(A\) vers l'ensemble \(B\) est une relation qui à chaque élément de \(A\) associe au plus un élément de \(B\). On note : \(f: A o B\).

Fonction injective (ou one-to-one)

Une fonction \(f: A o B\) est injective si différent éléments de \(A\) ont des images différentes. Formule : si \(f(a_1) = f(a_2)\) alors \(a_1 = a_2\).

En d'autres termes, aucune paire distincte dans \(A\) n'a la même image dans \(B\).

Exemple : La fonction \(f(x) = 2x\) de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) est injective.

Fonction surjective (ou onto)

Une fonction \(f: A o B\) est surjective si chaque élément de \(B\) est l'image d'au moins un élément de \(A\). Formule : pour tout \(b \in B\), il existe au moins un \(a \in A\) tel que \(f(a) = b\).

Exemple : La fonction \(f(x) = x^2\) de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) n'est pas surjective (par exemple, -1 n'est pas une image).

Mais si l'on considère \(f: \mathbb{R} o \math([0, +\infty[)\), alors elle est surjective.

Fonction bijective (ou biunivoque)

Une fonction \(f: A o B\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Elle établit donc une correspondance parfaite entre \(A\) et \(B\).

Une bijection possède une inverse \(f^{-1}\) telle que :

• \(f^{-1}(f(a)) = a\) pour tout \(a \in A\)
• \(f(f^{-1}(b)) = b\) pour tout \(b \in B\)

Exemple : La fonction \(f(x) = x + 3\) de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) est bijective.

Résumé

• Injective : pas deux éléments différents ont la même image.
• Surjective : tout élément du codomaine est une image.
• Bijective : une fonction est à la fois injective et surjective, et possède une inverse.