Fonctions injectives, surjectives et bijections

Introduction

Une fonction est une règle qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ un unique élément d’un ensemble d’arrivée.

Fonction Injective (injection)

Une fonction \(f : A o B\) est dite injective si différents éléments de \(A\) ont des images différentes dans \(B\).

Formellement, pour tous \(x, y \in A\), si \(f(x) = f(y)\), alors \(x = y\).

En résumé : pas deux éléments distincts de \(A\) ont la même image dans \(B\).

Exemple

La fonction \(f(x) = 2x\) définie sur \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) est injective, car si \(2x_1 = 2x_2\), alors \(x_1 = x_2\).

Fonction Surjective (surjection)

Une fonction \(f : A o B\) est dite surjective si tout élément de \(B\) est l’image d’au moins un élément de \(A\).

Formellement, pour tout \(y \in B\), il existe au moins un \(x \in A\) tel que \(f(x) = y\).

Exemple

La fonction \(f(x) = x^3\) définie sur \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) est surjective, car pour tout \(y \in \mathbb{R}\), on peut choisir \(x = \sqrt[3]{y}\) et obtenir \(f(x) = y\).

Fonction Bijection (bijection)

Une fonction \(f : A o B\) est une bijection si elle est à la fois injective et surjective.

Dans ce cas, chaque élément de \(A\) a une image différente et chaque élément de \(B\) est l'image d’un élément unique de \(A\).

Exemple

La fonction identité \(f(x) = x\) sur \(\mathbb{R}\) est une bijection, car elle est injective et surjective.

Résumé

• Injective : pas deux éléments différents de l’ensemble de départ ont la même image.
• Surjective : tout élément de l’ensemble d’arrivée a une pré-image.
• Bijection : une fonction à la fois injective et surjective, donc une correspondance parfaite.

Conclusion

Les notions d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité permettent de décrire la nature d’une fonction. Elles sont fondamentales en mathématiques pour comprendre comment les ensembles sont reliés entre eux.