Les fonctions linéaires

1. Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une relation entre deux variables, généralement nommée \(x\) et \(y\), qui peut s'écrire sous la forme :

y = ax + b

où :

• a est la pente de la droite (le coefficient directeur)
• b est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\)

2. Exemple concret

Considérons la fonction :

y = 2x + 1

Cette fonction relie \(x\) à \(y\). Par exemple, si \(x = 3\), alors :

\[ y = 2 imes 3 + 1 = 7 \]

3. Graphique d'une fonction linéaire

Graphiquement, la fonction \(y = ax + b\) représente une droite. La pente \(a\) indique l'inclinaison de la droite :

• si \(a > 0\), la droite monte quand on va vers la droite
• si \(a < 0\), la droite descend

Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées (l'axe vertical) est le point \((0, b)\).

4. Représenter une fonction linéaire

Pour tracer la droite correspondant à une fonction \(y = ax + b\):

1. Tracer le point \((0, b)\) sur l'axe des y.
2. Choisir une autre valeur de \(x\), calculer \(y\) et tracer le point correspondant.
3. Relier ces points par une droite.

5. Résoudre une équation avec une fonction linéaire

Pour résoudre une équation comme :

ax + b = 0

Il faut isoler \(x\) :

\[ x = -rac{b}{a} \]

Par exemple, si \(y = 2x + 3\), pour trouver \(x\) tel que \(y=0\) :

\[ 0 = 2x + 3 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -rac{3}{2} \]

6. Résumé

• Une fonction linéaire est de la forme \(y = ax + b\).
• Elle représente une droite dans le plan.
• Pour la tracer, on utilise les points \((0, b)\) et un autre point.
• Pour résoudre une équation linéaire, on isole la variable \(x\).