Fonctions linéaires et affines

Introduction

Une fonction est une règle qui associe à chaque valeur d'une variable x une unique valeur f(x). Les fonctions linéaires et affines sont des types particuliers de fonctions souvent rencontrés en mathématiques.

Fonction linéaire

Une fonction f est dite linéaire si elle peut s'écrire sous la forme :

\[f(x) = ax\]

où a est un réel appelé « coefficient directeur » ou « pente ».

Caractéristiques

• Le graphique de la fonction passe par l'origine (0,0).
• Le graphique est une droite qui passe par l'origine ; pente a.

Exemple

Si \(a = 3\), alors la fonction est \(f(x) = 3x\). Elle est croissante, car a est positif.

Fonction affine

Une fonction f est dite affine si elle peut s'écrire sous la forme :

\[f(x) = ax + b\]

avec a et b des réels.

Caractéristiques

• Le graphique est une droite, mais cette fois-ci qui ne passe pas forcément par l'origine.
• Le coefficient a représente la pente, et b l'ordonnée à l'origine (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées).

Exemple

Si \(a=2\) et \(b=3\), alors \(f(x) = 2x + 3\). La droite coupe l'axe des y en (0,3).

Résumé

• Fonction linéaire : \(f(x) = ax\)
• Fonction affine : \(f(x) = ax + b\)

Applications

Ces fonctions permettent de modéliser de nombreuses situations comme la croissance, le coût en fonction de la quantité, etc.