Une fonction linéaire est une droite passant par l'origine, une fonction affine est une droite quelconque ; on les décrit par une formule \(y=ax\) ou \(y=ax+b\).

Fonctions linéaires et affines — cours synthétique

Objectifs : comprendre la forme des fonctions \(f(x)=ax\) et \(f(x)=ax+b\), savoir tracer leur droite, calculer image et antécédent, et déterminer \(a\) et \(b\) à partir de points.

Notion 1 — Fonction linéaire

Définition : une fonction est linéaire si elle s'écrit

\(f(x)=ax\)

Propriétés :

La droite représentative passe par l'origine \((0,0)\).
Le paramètre \(a\) est le coefficient directeur (pente) : si \(a>0\) la droite monte, si \(a<0\) elle descend.
Image d'un nombre : \(f(x)=ax\) donne l'image en multipliant par \(a\).

Si \(f(x)=3x\), quel est \(f(4)\) ?

On calcule \(f(4)=3\times 4=12\).

Notion 2 — Fonction affine

Définition : une fonction est affine si elle s'écrit

\(f(x)=ax+b\)

Propriétés :

La droite n'a pas forcément de point au zéro ; l'ordonnée à l'origine est \(b\), car \(f(0)=b\).
Le coefficient \(a\) reste la pente (taux de variation).

Laquelle de ces fonctions est linéaire ?

\(f(x)=2x+1\)
\(f(x)=x^2\)
\(f(x)=5x\)

Une fonction linéaire doit avoir la forme \(ax\) sans terme constant, ici \(5x\).

Tracer une droite à partir de la formule

Procédé simple :

1. Calculer l'ordonnée à l'origine \(f(0)=b\) et placer le point \((0,b)\).

2. Utiliser la pente \(a\) : à partir d'un point, se déplacer de 1 vers la droite et de \(a\) vers le haut (ou bas si \(a<0\)).

3. Tracer la droite passant par ces deux points.

Pour tracer \(f(x)=2x-4\), quel est d'abord le point à placer ?

\((0,-4)\)
\((2,-4)\)
\((0,2)\)

On calcule \(f(0)=-4\), d'où le point \((0,-4)\).

Exemples résolus

Exemple 1 — calcul d'image

Soit \(f(x)=3x-1\). Calculer \(f(2)\).

Voir la solution

On remplace \(x\) par \(2\) :

\(f(2)=3\times 2-1=6-1=5\)

Exemple 2 — déterminer \(a\) et \(b\) à partir de deux points

La droite passe par \((1,2)\) et \((3,8)\). Trouver \(f(x)=ax+b\).

Étape 1 : écrire le système à partir des points :

\(\begin{align} a\times 1 + b &= 2 \\\\ a\times 3 + b &= 8 \end{align}\)

Étape 2 : soustraire les équations pour éliminer \(b\) :

\(\begin{align} (3a+b)-(a+b) &= 8-2 \\\\ 2a &= 6 \\\\ a &=3 \end{align}\)

Étape 3 : remplacer \(a=3\) dans \(a+b=2\) pour trouver \(b\) :

\(3+b=2\Rightarrow b=-1\)

Conclusion : \(f(x)=3x-1\)

Une droite passe par \((0,5)\) et \((2,9)\). Quel est \(a\) dans \(f(x)=ax+b\) ?

La pente est \(\dfrac{9-5}{2-0}=\dfrac{4}{2}=2\).

Erreurs fréquentes

Penser qu'une fonction affine est toujours proportionnelle : non si \(b\neq 0\).
Oublier de simplifier une fraction lors du calcul de \(a\).

Si \(f(x)=0x+3\), que peut-on dire ?

C'est une fonction constante égale à 3
C'est la fonction identité
Impossible, \(a\) ne peut pas être 0

Si \(a=0\), alors \(f(x)=b\) est constante ; ici \(f(x)=3\).

Récapitulatif et cartes mémo

Points clés :

Fonction linéaire : \(f(x)=ax\) (passe par \((0,0)\)).
Fonction affine : \(f(x)=ax+b\) (ordonnée à l'origine \(b\)).
Coefficient \(a\) = pente = taux de variation = \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).
Pour tracer : placer \((0,b)\) puis utiliser la pente \(a\).

Linéraire

Forme \(f(x)=ax\), passe par l'origine

Affine

Forme \(f(x)=ax+b\), ordonnée à l'origine \(b\)

Pente

\(a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

Image

Calculer \(f(x)\) en remplaçant \(x\)