Fonctions paires et impaires

Ce cours porte sur la classification des fonctions selon leur symétrie : fonctions paires ou impaires. Nous allons définir chaque notion, puis donner des exemples concrets.

1. Fonction paire

Une fonction \(f\) est dite paire si, pour tout réel \(x\) dans le domaine de définition, on a :

• \(f(-x) = f(x)\)

Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical).

2. Fonction impaire

Une fonction \(f\) est dite impaire si, pour tout réel \(x\) dans le domaine de définition, on a :

• \(f(-x) = -f(x)\)

Graphiquement, cela signifie que la courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

3. Exemples

Fonction paire

• \(f(x) = x^2\) : alors \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)

• \(f(x) = \cos x\) : alors \(\cos(-x) = \cos x\)

Fonction impaire

• \(f(x) = x^3\) : alors \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\)

• \(f(x) = \sin x\) : alors \(\sin(-x) = -\sin x\)

4. Vérification

Pour déterminer si une fonction est paire ou impaire :

1. Calculer \(f(-x)\).

2. Comparer avec \(f(x)\) et \(-f(x)\).

3. Si \(f(-x) = f(x)\), la fonction est paire ; si \(f(-x) = -f(x)\), elle est impaire.

5. Cas particulier : fonctions ni paires ni impaires

Certaines fonctions ne vérifient aucune des deux équations. Elles sont ni paires ni impaires.

Exemple : \(f(x) = x + 1\).

Conclusion

Les fonctions paires et impaires possèdent des symétries caractéristiques. La connaissance de cette propriété facilite certains calculs et représentations graphiques.