Les fonctions polynômes du second degré

Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme :
f(x) = ax^2 + bx + c,
avec a, b, c réels et a ≠ 0.

Caractéristique principale

Sa représentation graphique est une parabole. La concavité dépend du signe de a :

• si a > 0, la parabole est tournée vers le haut.
• si a < 0, elle est tournée vers le bas.

Applications

1. Optimisation (minimum ou maximum)

La parabole possède un sommet qui correspond à l'extremum de la fonction :

• Si a > 0, le sommet est un minimum.
• Si a < 0, le sommet est un maximum.

Les coordonnées du sommet (S(x_s), y_s) sont :

x_s = -b / (2a)

y_s = f(x_s) = a x_s² + b x_s + c

2. Courbes et représentations graphiques

Tracer la parabole permet de visualiser directement les solutions ou intervalles concernés par un problème.

3. Résolution d'inégalités

Pour résoudre une inégalité du type :

•  f(x) > 0
•  f(x) < 0

il faut étudier le signe de f(x) en utilisant le discriminant :

Discriminant Δ :

  Δ = b² - 4ac

Selon Δ :

• Si Δ < 0, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses : f(x) n'a pas de racines réelles.
• Si Δ = 0, elle touche l'axe en un seul point : racine double.
• Si Δ > 0, elle coupe l'axe en deux points : racines distinctes x₁ et x₂.

Les solutions de l'inégalité dépendant du signe et du sens de la parabole, par exemple :

• f(x) > 0 si x est en dehors de l'intervalle entre les racines (pour a > 0).
• f(x) < 0 si x est entre les racines (pour a > 0).

Ces connaissances permettent de résoudre efficacement des problèmes d'optimisation ou d'intervalles.