Une parabole décrit les fonctions quadratiques ; elles servent à optimiser, comparer et tracer des courbes.

Fonctions polynômes du second degré — Applications : optimisation, courbes, inégalités

Objectifs

Comprendre la forme générale \(f(x)=ax^2+bx+c\) et le rôle de \(a,b,c\).
Savoir trouver le sommet, les zéros et étudier le signe d'une quadratique.
Appliquer ces notions pour optimiser une quantité, esquisser la courbe et résoudre des inégalités.

Notions clés

Définition

Une fonction polynôme du second degré est de la forme \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\).

Formes utiles

Forme canonique (sommet) :

\[ f(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta \]

avec \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\).

Forme factorisée (si racines \(x_1,x_2\)) :

\[ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \]

Discriminant et zéros

\[ \Delta=b^2-4ac \]

Si \(\Delta>0\) : deux racines réelles ; \(\Delta=0\) : racine double ; \(\Delta<0\) : pas de racine réelle.

Si \(a>0\), la parabole est :

ouverte vers le haut
ouverte vers le bas
ni ouverte ni fermée

Pour \(a>0\) la parabole est convexe et ouvre vers le haut.

Exemples résolus

1) Optimisation : rectangle de périmètre 20

Soit un rectangle de côtés \(x\) et \(y\), avec \(2(x+y)=20\Rightarrow y=10-x\). L'aire est :

\[ A(x)=x(10-x)=-x^2+10x. \]

Voir la solution

On écrit \(A(x)=-x^2+10x\).

La forme canonique : \(A(x)=-\left(x-5\right)^2+25\).

Le maximum vaut \(25\) pour \(x=5\), donc le rectangle optimal est un carré \(5\times5\).

Quelle est la valeur de \(x\) qui maximise \(A(x)\)?

Sommet de la parabole obtenu par \(x=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{10}{-2}=5\).

2) Inégalité : résoudre \(x^2-3x-4\ge 0\)

Calcul des racines :

\[ \Delta=(-3)^2-4\times1\times(-4)=9+16=25 \] \[ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2} \] \[ x_1=-1,\quad x_2=4 \]

Voir la solution

Par forme factorisée \(x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\). Tableau de signes : pour \(a=1>0\) la parabole ouvre vers le haut donc \(f(x)\ge0\) sur \(( -\infty,-1] \cup [4,+\infty )\).

L'ensemble solution de l'inégalité est :

\([-1,4]\)
\(( -\infty, -1 )\cup(4, +\infty )\)
\(( -\infty, -1 ]\cup[4, +\infty )\)

Avec \(a>0\) la fonction est positive à l'extérieur des racines et nulle aux racines.

3) Esquisse de la courbe

Pour \(f(x)=2x^2-4x+1\), déterminer sommet, zéros, sens de courbure.

Calcul du sommet : \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{4}=1\), \(\beta=f(1)=2-4+1=-1\).

Discriminant : \(\Delta=(-4)^2-4\times2\times1=16-8=8>0\) : deux racines réelles.

La parabole est convexe car \(a=2>0\) ; on place le sommet \((1,-1)\), l'axe \(x=1\) et les racines approximatives.

Le sommet de \(f\) est :

(0,1)
(1,-1)
(-1,1)

Calcul direct par formule \(\alpha=-b/(2a)\).

Erreurs fréquentes

Ne pas diviser par \(2a\) correctement lorsqu'on calcule le sommet.
Confondre racines réelles et complexes si \(\Delta<0\).

Si \(\Delta<0\) et \(a>0\), la fonction est :

toujours négative
toujours positive
change de signe

Sans racines et \(a>0\) la parabole reste au-dessus de l'axe, donc positive.

Récapitulatif

Pour une quadratique \(f(x)=ax^2+bx+c\) retenir :

Sommet \(\left(-\dfrac{b}{2a},f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\).
Discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) pour le nombre de racines.
Forme canonique et factorisée pour étudier extremum et signes.

Cartes mémo

Forme générale

\(ax^2+bx+c\)

Sommet

\(\left(-\dfrac{b}{2a},\ f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\)

Discriminant

\(\Delta=b^2-4ac\)

Signes

Signe selon \(a\) et \(\Delta\)