Fonctions polynômes du second degré : Applications en optimisation, courbes et inégalités

1. Introduction aux fonctions du second degré

Une fonction polynomiale du second degré s"écrit sous la forme :

f(x) = ax^2 + bx + c 

avec \(a eq 0\), \(a, b, c\) réels.

2. La courbe de la fonction : parabole

Graphiquement, la fonction représente une parabole dont :

• Le sommet est le point \( extbf{S}\) de coordonnées : \(\left(rac{-b}{2a}, f\left(rac{-b}{2a} ight) ight)\).
• Le sens de la parabole dépend de \(a\) :
• Si \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut (minimum en S).
• Si \(a < 0\), la parabole est tournée vers le bas (maximum en S).

3. Optimisation : rechercher le maximum ou le minimum

Le sommet \(S\) correspond au point d"optimum :

• Minimum si \(a > 0\), valeur minimale = \(f\left(rac{-b}{2a} ight)\).
• Maximum si \(a < 0\), valeur maximale = \(f\left(rac{-b}{2a} ight)\).

Calcul du sommet :

x_s = rac{-b}{2a} \quad 	ext{et} \quad y_s = f(x_s) = a x_s^2 + bx_s + c

4. Résolution d'inégalités : \(f(x) \geq 0\) ou \(f(x) \leq 0\)

On souhaite connaître les valeurs de \(x\) telles que :

• \(f(x) \geq 0\) : la parabole est au-dessus de l"axe \(x\).
• \(f(x) \leq 0\) : la parabole est en-dessous de l"axe \(x\).

Pour cela, on résout l'équation :

ax^2 + bx + c = 0

\>

Les solutions, \(x_1\) et \(x_2\), sont données par la formule :

x_{1,2} = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\,	ext{avec} \,\Delta = b^2 - 4ac

Les solutions de l'inégalité dépendent du signe de \(\Delta\) :

• \(\Delta > 0\) : deux solutions distinctes.
• \(\Delta = 0\) : solution unique (tangence).
• \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle.

Exemples :

• Si \(a > 0\),
  • \(f(x) \geq 0\) pour \(x \leq x_1\) ou \(x \geq x_2\) (si \(\Delta > 0\)).
  • \(f(x) \leq 0\) pour \(x \in [x_1, x_2]\).
• Si \(a < 0\), les intervalles sont inversés.

5. Applications concrètes

Exemple 1 : Optimisation d"une trajectoire

Supposons qu"une balle suit une trajectoire modélisée par :

f(x) = -2x^2 + 8x + 3

\>

Pour trouver sa hauteur maximale :

1. Calculons le sommet :
2. \(x_s = rac{-b}{2a} = rac{-8}{2 imes (-2)} = 2\).
3. La hauteur maximale :

f(2) = -2 	imes 2^2 + 8 	imes 2 + 3 = -8 + 16 + 3 = 11.

\>

Donc, la balle atteint une hauteur de 11 unités à x=2.

Exemple 2 : Résolution d"une inégalité

Résolvons \(x^2 - 4x + 3 \geq 0\).

1. Calculons \(\Delta = (-4)^2 - 4 imes 1 imes 3 = 16 - 12 = 4 > 0\).
2. Les solutions :

x_{1,2} = rac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = rac{4 \pm 2}{2}\Rightarrow x_1=1, x_2=3.

3. Les intervalles :
• \(f(x) \geq 0\) pour \(x \leq 1\) ou \(x \geq 3\).