Fonctions polynômes du second degré : Applications, optimisation, courbes, inégalités

1. Introduction aux fonctions quadratiques

Une fonction polynôme du second degré s'écrit sous la forme :

f(x) = ax^2 + bx + c,

où \(a eq 0\), et \(a, b, c\) sont des nombres réels.

2. La courbe d'une fonction quadratique : la parabole

• La parabole est symétrique par rapport à une droite appelée axe de symétrie.
• Le sommet de la parabole est le point caractéristique où elle atteint son minimum (si \(a > 0\)) ou son maximum (si \(a < 0\)).

Le sommet \(S\) de la parabole a pour coordonnées : \[ ext{Si } f(x) = ax^2 + bx + c,\quad x_s = -rac{b}{2a},\quad y_s = f(x_s). \]

3. Applications : optimisation

3.1. Trouver le maximum ou le minimum

• Le sommet donne la valeur extrême de la fonction.
• Pour \(a > 0\), le minimum en \(S(x_s, y_s)\).
• Pour \(a < 0\), le maximum en \(S(x_s, y_s)\).

3.2. Exemple d'optimisation

Une entreprise veut optimiser le bénéfice \(B(x) = -2x^2 + 8x + 3\). La fonction est une parabole concave (parce que le coefficient de \(x^2\) est négatif).

Le sommet se trouve en : \[ x_s = -rac{b}{2a} = -rac{8}{2 imes (-2)} = 2. \]

Le maximum est : \[ B(2) = -2(2)^2 + 8 imes 2 + 3 = -8 + 16 + 3 = 11. \]

Donc, le bénéfice maximum est 11, atteint pour \(x=2\).

4. Résolution d'inégalités avec une fonction quadratique

4.1. Inéquations de la forme \(ax^2 + bx + c \geq 0\) ou \(\leq 0\)

On commence par déterminer le discriminant : \[ \Delta = b^2 - 4ac. \]

- Si \(\Delta < 0\), la parabole ne coupe pas l'axe x et l'inégalité dépend du signe de \(a\):

• Si \(a > 0\) et \(\Delta < 0\), alors \(f(x) \geq 0\) partout.
• Si \(a < 0\) et \(\Delta < 0\), alors \(f(x) \leq 0\) partout.

- Si \(\Delta \geq 0\), on calcule les racines : \[ x_1 = rac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = rac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}. \]

La parabole coupe l'axe en \(x_1\) et \(x_2\), et on détermine le signe selon le tableau de signes.

4.2. Exemple

Résoudre l'inéquation : \[ x^2 - 5x + 6 \geq 0. \]

Calculons le discriminant : \[ \Delta = (-5)^2 - 4 imes 1 imes 6 = 25 - 24 = 1. \]

Les racines : \[ x_1 = rac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = rac{5 + 1}{2} = 3. \]

La parabole est positive en dehors de l'intervalle \([2,3]\), donc la solution est : \[ x \leq 2 \quad ext{ou} \quad x \geq 3. \]

5. Conclusion

Les fonctions quadratiques sont essentielles en mathématiques et en économie, physique, ingénierie pour modéliser des situations où une quantité atteint un maximum ou un minimum et pour étudier des inégalités.