Introduction

Les fonctions du second degré, aussi appelées quadratiques, ont la forme générale : \(f(x) = ax^2 + bx + c\), où \(a eq 0\).

Objectif

Apprendre comment transformer un trinôme du second degré en une forme factorisable plus simple à étudier, en utilisant la complétion du carré. Connaitre aussi les principales identités remarquables pour simplifier les expressions algébriques.

Complétion du carré

Étape 1 : fiche de départ

Considérons un trinôme : \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Pour simplifier, on factorise par \(a\) si nécessaire :

f(x) = a \left( x^2 + rac{b}{a} x 
ight) + c

Étape 2 : Ajout et retrait d’un carré

Pour compléter le carré dans \(x^2 + rac{b}{a} x\), on utilise la formule :

(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2

Comparer avec \(x^2 + rac{b}{a} x\), on a :

2p = rac{b}{a} \Rightarrow p = rac{b}{2a}

On peut écrire :

x^2 + rac{b}{a} x = \left( x + rac{b}{2a} 
ight)^2 - \left( rac{b}{2a} 
ight)^2

Étape 3 : Résultat final

Le trinôme devient :

f(x) = a \left[ \left( x + rac{b}{2a} 
ight)^2 - \left( rac{b}{2a} 
ight)^2 
ight] + c

En développant, on obtient la forme complétée :

f(x) = a \left( x + rac{b}{2a} 
ight)^2 + \left( c - a \left( rac{b}{2a} 
ight)^2 
ight)

Identités remarquables

Les principales considérations :

• \(\left( a + b ight)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \(\left( a - b ight)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Ces identités permettent de simplifier et de factoriser facilement des expressions quadratiques.