Fonctions polynômes du second degré : Complétion du carré et identités remarquables

1. Introduction

Une fonction polynôme du second degré s'écrit généralement sous la forme :

f(x) = ax^2 + bx + c,\qquad a 
eq 0.

Le but de cette leçon est d'apprendre à transformer cette expression pour mieux analyser ses caractéristiques, notamment grâce à la complétion du carré et aux identités remarquables.

2. Complétion du carré

2.1 Objectif

Réécrire un trinôme \( ax^2 + bx + c \) sous la forme :
\( a(x - lpha)^2 + eta \), ce qui facilite la lecture du sommet de la parabole.

2.2 Méthode

1. Factoriser par \( a \) si nécessaire :

f(x) = a \left(x^2 + rac{b}{a}x 
ight) + c.

2. Compléter le carré à l’intérieur :

x^2 + rac{b}{a}x = \left(x + rac{b}{2a}
ight)^2 - \left(rac{b}{2a}
ight)^2.

3. Obtenir la forme finale :

f(x) = a \left( x + rac{b}{2a} 
ight)^2 - a \left(rac{b}{2a}
ight)^2 + c.

4. Exprimer en termes de \(lpha\) et \(eta\) :

f(x) = a \left( x - \left(-rac{b}{2a}
ight) 
ight)^2 + \left( c - rac{b^2}{4a} 
ight).

3. Identities remarquables

3.1 Formules importantes

Les principales identités remarquables sont :

• \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
• \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)
• \( (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \)

3.2 Utilisation dans la complétion du carré

Ces identités permettent de reconnaître une expression comme un carré parfait ou une différence de carrés, simplifiant le travail de factorisation ou de réécriture.

4. Exemple d’application

Considérons la fonction \( f(x) = 2x^2 + 4x + 1 \).

1. On factorise par 2 :

f(x) = 2\left(x^2 + 2x 
ight) + 1.

2. Complétons le carré :

x^2 + 2x = \left(x + 1
ight)^2 - 1.\)

3. Forme finale :

f(x) = 2\left( (x + 1)^2 - 1 
ight) + 1 = 2(x + 1)^2 - 2 + 1 = 2(x + 1)^2 - 1.\)

La parabole a pour sommet le point \((-1, -1)\).

5. Conclusion

La complétion du carré est une technique essentielle en algèbre pour analyser et résoudre des équations ou étudier le graphique d'une fonction quadratique. Les identités remarquables facilitent la manipulation des expressions et leur factorisation.