Objectifs

• Connaitre la forme générale f(x)=ax²+bx+c (a ≠ 0) et la forme canonique.
• Apprendre la méthode de complétion du carré pour transformer en forme canonique a(x−h)²+k.
• Utiliser les identités remarquables pour factoriser et résoudre des équations quadratiques.

Rappels et identités remarquables

Identités fréquemment utilisées :

• (u±v)² = u² ± 2uv + v² (carré d'une somme ou différence).
• u² − v² = (u−v)(u+v) (différence de deux carrés).

Compléter le carré (méthode)

Pour f(x)=ax²+bx+c avec a ≠ 0, on cherche la forme canonique a(x−h)²+k.

1. Factoriser a sur les termes en x : f(x)=a(x²+(b/a)x)+c.
2. Compléter le carré à l'intérieur : x²+(b/a)x = (x + b/(2a))² − (b/(2a))².
3. Remplacer et simplifier :

   f(x) = a[(x + b/(2a))2 − (b/(2a))2] + c
   => f(x) = a(x + b/(2a))2 − a·(b/(2a))2 + c
   => f(x) = a(x + b/(2a))2 − b2/(4a) + c

On en déduit la forme canonique :

f(x) = a(x − h)² + k avec h = −b/(2a) et k = c − b²/(4a).

Interprétations géométriques et conséquences

• Le sommet (ou sommet de la parabole) a pour coordonnées (h,k) = (−b/(2a), c − b²/(4a)).
• Si a > 0, la parabole est convexe (minimum en (h,k)). Si a < 0, elle est concave (maximum en (h,k)).
• Pour résoudre f(x)=0, on peut écrire a(x−h)²+k=0 ⇒ (x−h)²=−k/a. Ainsi les racines existent selon le signe de −k/a.

Relation avec le discriminant

Discriminant : Δ = b² − 4ac.

• Δ > 0 : deux racines distinctes x = (−b ± √Δ)/(2a).
• Δ = 0 : une racine double x = −b/(2a) (le sommet touche l'axe des abscisses).
• Δ < 0 : pas de racine réelle (la valeur minimale/ maximale k a même signe que a).

Compléter le carré permet d'obtenir ces résultats sans calcul direct du discriminant, en examinant k = f(h) :

f(h)=k = c − b²/(4a) = −Δ/(4a).

Exemples résolus

Factoriser 2: f(x)=2[x2−4x]+5
Compléter le carré: x2−4x=(x−2)2−4
Donc f(x)=2[(x−2)2−4]+5=2(x−2)2−8+5
=> f(x)=2(x−2)2−3
Sommet: (2,−3). Discriminant: Δ=(−8)2−4·2·5=64−40=24 >0 (2 racines).

Compléter le carré: x2+6x=(x+3)2−9
f(x)=(x+3)2−9+5=(x+3)2−4
On peut écrire (x+3)2−22 = (x+3−2)(x+3+2)=(x+1)(x+5)
Racines: x=−1 et x=−5.

Compléter le carré: x2+4x=(x+2)2−4
f(x)=(x+2)2−4+5=(x+2)2+1
Ici k=1 >0 et a=1 >0 ⇒ pas de racine réelle (minimum en (−2,1)).

Exercices courts (à faire)

1. Mettre sous forme canonique f(x)=3x²−12x+7 et donner le sommet.
2. Factoriser x²−2x−15 par complétion du carré ou identité remarquable.
3. Déterminer le signe de f(x)=−2x²+4x−1 selon x.

Réponses (très synthétiques) : 1) 3(x−2)²−5 ⇒ sommet (2,−5). 2) (x−5)(x+3). 3) Δ=4−8=−4 donc f(x)<0 pour tout x (a<0 et pas de racines).

Conseils pratiques

• Pour a=1, retenir la formule rapide : x²+bx+c = (x + b/2)² − b²/4 + c.
• Utiliser la forme canonique pour tracer la courbe : sommet, ouverture (a), intersections éventuelles avec l'axe des abscisses.
• Les identités remarquables servent à factoriser rapidement et à vérifier des résultats obtenus par complétion du carré.