Introduction

Les fonctions du second degré ont la forme générale : \(f(x) = ax^2 + bx + c\), avec \(a eq 0\).
Elles sont représentées par une parabole dont le sommet, la direction d’ouverture et les racines sont essentiels pour étudier leur comportement.

1. Étude du signe de \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Étape 1 : Calcul du discriminant : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] - Si \(\Delta < 0\), la parabole ne coupe pas l’axe x. - Si \(\Delta = 0\), la parabole touche l’axe x en un seul point. - Si \(\Delta > 0\), elle coupe l’axe x en deux points.

Étape 2 : Déterminer le signe en fonction de \(a\) et \(\Delta\):

• Si \(a > 0\):
  • Pour \(\Delta < 0\) : \(f(x) > 0\) pour tout \(x\).
  • Pour \(\Delta = 0\) : \(f(x) \geq 0\), avec \(f(x) = 0\) en \(x = -rac{b}{2a}\).
  • Pour \(\Delta > 0\) : \(f(x) \geq 0\) en dehors des racines, et \(f(x) \leq 0\) entre les racines.
• Si \(a < 0\), le signe est inversé : parabole tournée vers le bas.

2. Résolution de l’équation \(f(x) = 0\)

On résout \(\ ax^2 + bx + c = 0 \) :

• Calcul du discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
• * Si \(\Delta < 0\) :
  • Pas de solution réelle.
• * Si \(\Delta = 0\) :
  • Solution unique : \(x = -rac{b}{2a}\).
• * Si \(\Delta > 0\) :
  • Deux solutions : \[ x_1 = rac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad ext{et} \quad x_2 = rac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

3. Résolution de l’inéquation \(f(x) \geq 0\) ou \(f(x) \leq 0\)

En utilisant l’étude du signe, on détermine sur quels intervalles l’inéquation est vérifiée :

• \(a > 0\) :
  • \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) sauf entre les racines si \(\Delta > 0\).
  • \/ ou \/ \(\)
• \(a < 0\) :
  • \(f(x) \leq 0\) en dehors des racines si \(\Delta > 0\).

Exemple : Si \(f(x) = 2x^2 - 4x - 6\), avec \(\Delta = 196 > 0\), racines : \[ x_1 = -1, \quad x_2 = 3 \]. L’inéquation \(f(x) \geq 0\) est vérifiée pour \(x \leq -1\) ou \(x \geq 3\).