Introduction

Une fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme f(x) = ax^2 + bx + c, avec a ≠ 0. Son étude permet de résoudre des équations et inéquations, et de comprendre sa représentation graphique.

1. La parabole et ses propriétés

• Sommet : le point S de coordonnées (−b/2a, Δ/4a).
• Gauche et droite : la parabole est
  - valeur minimale si a > 0, - valeur maximale si a < 0.
• Ouverture : vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

2. Le discriminant et la nature des racines

Le discriminant :
$\Delta \; =\; b^2\; -\; 4ac$

• Δ > 0: deux solutions distinctes.
• Δ = 0: une solution unique (racine double).
• Δ < 0: pas de solution réelle.

3. Étude du signe de la fonction

On s’intéresse à la valeur de f(x) :

• Si Δ > 0: racines x1 et x2 (avec x1 < x2) – f(x) > 0 pour x < x1 ou x > x2, – f(x) < 0 pour x1 < x < x2.
• Si Δ = 0: f(x) > 0 sauf en x = -b/2a où f(x) = 0.
• Si Δ < 0: f(x) > 0 pour tout x.

4. Résolution d’équations

Pour résoudre f(x) = 0 :

• Si Δ > 0 :
  x1 = (-b - √Δ) / 2a,
  x2 = (-b + √Δ) / 2a.
• Si Δ = 0 :
  x = -b / 2a.
• Si Δ < 0 :
  pas de solution réelle.

5. Résolution d’inequations

Pour résoudre f(x) < 0 ou f(x) > 0,

• Étudiez le signe de f(x) en utilisant les racines et le tableau de signes. Pour f(x) > 0, recherchez l’intersection avec la zone positive. Pour f(x) < 0, la zone où f(x) est négative.