Fonctions polynômes du second degré

Niveau : 1ère — Thème : formes développée, factorisée, canonique.

1. Définition et forme développée

Une fonction polynôme du second degré s'écrit :

f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.

On appelle forme développée l'expression ci-dessus.

Le discriminant est Δ = b² − 4ac. Selon Δ :

Si Δ > 0 : deux racines réelles distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
Si Δ = 0 : une racine double x0 = −b/(2a).
Si Δ < 0 : pas de racine réelle.

Si Δ ≥ 0, on peut écrire :

f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) (si Δ>0)

et si Δ = 0 :

f(x) = a(x − x0)².

Si Δ < 0, il n'existe pas de factorisation en facteurs linéaires réels.

On peut mettre en évidence un carré parfait par mise au carré :

f(x) = a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)).

En notant h = −b/(2a) et k = f(h) = c − b²/(4a), on obtient

f(x) = a(x − h)² + k, où (h,k) est le sommet (le sommet de la parabole).

Le sommet a donc pour abscisse h = −b/(2a) et ordonnée k = f(h).

Développée → Factorisée : calculer Δ. Si Δ≥0, déterminer x₁,x₂ puis écrire a(x−x₁)(x−x₂).
Développée → Canonique : compléter le carré ou utiliser la formule directe ci-dessus.
Canonique → Développée : développer a(x−h)² + k pour retrouver ax²+bx+c.
Factorisée → Développée : développer a(x−x₁)(x−x₂).
Canonique → Factorisée : si k·a ≤ 0 (ce qui donne des racines réelles), résoudre a(x−h)² + k = 0 pour obtenir x = h ± √(−k/a).

Soit f(x) = 2x² − 4x + 1.

Calcul du discriminant : Δ = (−4)² − 4·2·1 = 16 − 8 = 8 (Δ > 0).
Racines : x = (4 ± √8)/(4) = (2 ± √2)/2.
Forme factorisée : f(x) = 2(x − (2+√2)/2)(x − (2−√2)/2).
Forme canonique : h = −b/(2a) = 4/4 = 1, k = f(1) = 2 − 4 + 1 = −1, donc f(x) = 2(x − 1)² − 1.

g(x) = x² − 6x + 9 : Δ = 0, factorisée et canonique = (x − 3)².
h(x) = x² + 2x + 5 : Δ = −16 < 0, pas de racines réelles ; canonique (x + 1)² + 4.

Transformer f(x) = 3x² − 12x + 11 en forme canonique et factorisée si possible.
Mettre sous forme canonique g(x) = −x² + 4x − 3 puis donner le sommet.
Déterminer si h(x) = 4x² + 4x + 1 a des racines réelles et écrire sa forme factorisée si elle existe.

Solutions (rapide) :

Pour 3x² − 12x + 11 : h = 12/(2·3) = 2, k = 3·4 − 24 + 11 = −1 donc canonique 3(x−2)² − 1. Δ = 144 − 132 = 12 >0 donc factorisable : racines x = (12 ± √12)/(6) = 2 ± √3/3 (écrire la factorisation en conséquence).
Pour g : h = −4/(−2) = 2 (ou directement h = −b/(2a) = −4/(−2)=2), k = g(2) = −4 + 8 − 3 = 1, donc g(x) = −(x−2)² + 1, sommet (2,1).
Pour h(x)=4x²+4x+1 : Δ = 16 − 16 = 0 → racine double x = −b/(2a) = −4/8 = −1/2, factorisée 4(x + 1/2)² (ou (2x+1)² après factorisation).