Fonctions polynômes du second degré — Formes développée, factorisée, canonique
Comprendre et passer d'une forme à l'autre d'une fonction polynôme du second degré pour étudier sa courbe (sommet, racines, ouverture).
Fonctions polynômes du second degré — Formes développée, factorisée, canonique
Objectifs
- Reconnaître les trois formes d'un polynôme du second degré.
- Passer de la forme développée à la forme factorisée (si possible) et à la forme canonique.
- Lire le sommet, les racines et l'axe de symétrie sur la courbe.
Notions clés
Forme développée
Une fonction polynôme du second degré s'écrit sous sa forme développée \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\).
Les coefficients sont : \(a\) (ouverture), \(b\) (influence du sommet) et \(c\) (ordonnée à l'origine).
Forme factorisée
Si le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) est positif ou nul, la fonction admet des racines réelles \(x_1\) et \(x_2\) et on peut écrire \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Les racines sont données par \[x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]
Forme canonique
La forme canonique s'écrit \[f(x)=a(x-h)^2+k\] où \(h= -\dfrac{b}{2a}\) et \(k=f(h)\).
On peut montrer que \[k = -\dfrac{\Delta}{4a}\quad\text{et donc}\quad f(x)=a\Bigl(x+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^2 -\dfrac{\Delta}{4a}.\]
Utilisez les curseurs pour voir l'effet de \(a\), \(h\) et \(k\) sur la parabole : ouverture, déplacement horizontal et vertical.
Question : dans la forme canonique \(a(x-h)^2+k\), que représente \(h\) ?
Exemples résolus
Exemple 1 — discriminant positif (factorisation)
Soit \(f(x)=2x^2-4x-6\). Cherchez les racines, la forme factorisée et la forme canonique.
Quelle est la forme factorisée correcte ?
Exemple 2 — discriminant négatif (pas de factorisation réelle)
Soit \(g(x)=x^2+2x+5\). Déterminez si elle se factorise sur \(\mathbb{R}\) et donnez la forme canonique.
Voir la solution
Calcul : \(\Delta=2^2-4\times 1\times 5=4-20=-16<0\). Pas de racines réelles, donc pas de factorisation sur \(\mathbb{R}\).
Forme canonique : \(h=-\dfrac{b}{2a}=-1\) et \(k=g(-1)=1-2+5=4\), donc \[g(x)=(x+1)^2+4.\]
La parabole est tournée vers le haut (\(a=1>0\)) et a un minimum \((-1,4)\) au-dessus de l'axe des abscisses.
Que peut-on dire de \(g(x)=x^2+2x+5\) ?
Erreurs fréquentes
Autres pièges :
- Confondre \(h\) et \(k\) dans la forme canonique.
- Tenter de factoriser quand \(\Delta<0\) (il faut alors des nombres complexes).
- Faire des erreurs de signe lors du calcul de \(x_{1}\) et \(x_{2}\).
Si \(a<0\), que représente le sommet ?
Schéma : parabole, sommet, axe et racines
Schéma légendé d'une parabole (sans échelle précise) : sommet, axe de symétrie et racines.
Récapitulatif
- Forme développée : \(ax^2+bx+c\).
- Forme factorisée : \(a(x-x_1)(x-x_2)\) si \(\Delta\ge 0\).
- Forme canonique : \(a(x-h)^2+k\) avec \(h=-\dfrac{b}{2a}\), \(k=f(h)\).
- Sommet \((h,k)\), axe de symétrie \(x=h\), ouverture donnée par le signe de \(a\).
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