Fonctions polynômes du second degré : formes factorisée, canonique, développée

Introduction

Une fonction polynôme du second degré s\'écrit généralement sous la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels avec a \neq 0.

1. Forme développée

La forme la plus simple de présentation :

f(x) = ax^{2} + bx + c

Exemple :
f(x) = 2x^{2} - 3x + 1

2. Forme factorisée

Elle s\'écrit sous la forme :

f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})

où \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont les racines de l\'équation \(ax^{2} + bx + c = 0\).

Pour déterminer cette forme :

1. Calculer le discriminant : \(\Delta = b^{2} - 4ac\)
2. Selon \(\Delta\), déterminer les racines :
• Si \(\Delta > 0\), deux racines réelles distinctes :
\[\x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
• Si \(\Delta = 0\), une racine réelle double :
\[\x_{1,2} = \frac{-b}{2a}\]
• Si \(\Delta < 0\), racines complexes (non abordées ici).

Exemple : pour \(f(x) = 2x^{2} - 4x - 6\), \(\Delta = (-4)^{2} - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64\), \[\x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 8}{4}\] Donc, \[\x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3,\quad \x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1\]

forme factorisée :

\[f(x) = 2(x - 3)(x + 1)\]

3. Forme canonique

Elle met en évidence le sommet de la parabole :

f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta

où :

- \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) (x-coordinate du sommet) - \(\beta = f(\alpha)\) (ordonnée du sommet)

Pour passer de la forme développée à la forme canonique :

• Compléter le carré :

Exemple :

f(x) = 2x^{2} - 4x -6

Calcul de \(\alpha\) :

\[ \alpha = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1 \]

Calcul de \(\beta\) :

\[f(1) = 2(1)^{2} - 4(1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8 \]

Forme canonique :

f(x) = 2(x - 1)^{2} - 8

Résumé

• Les trois formes représentent la même fonction mais mettent en valeur des caractéristiques différentes :
• Développée : expression classique ax² + bx + c.
• Factorisée : racines du polynôme, utile pour résoudre f(x) = 0.
• Canonique : sommet de la parabole, utilisée pour analyser la parabole graphiquement.