Fonctions polynômes du second degré : Racines, discriminant, somme et produit des racines
Fonctions polynômes du second degré
Introduction
Une fonction polynôme du second degré s'écrit sous la forme :
\(f(x) = ax^2 + bx + c\), avec \(a
eq 0\).
Les racines d'un polynôme du second degré
Les racines (ou solutions) de l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\).
Il y en a 0, 1 ou 2 en fonction du discriminant.
Le discriminant
Il est défini par :
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
- \(\Delta > 0\) : deux racines distinctes
- \(\Delta = 0\) : une racine unique (racine double)
- \(\Delta < 0\) : aucune racine réelle
Formules des racines
Les racines, si elles existent, sont données par :
\[ x_{1,2} = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
- \(x_1 = rac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- \(x_2 = rac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Somme et produit des racines
Pour une équation \(ax^2 + bx + c = 0\), si \(x_1\) et \(x_2\) sont ses racines :
- La somme des racines :\[ x_1 + x_2 = - rac{b}{a} \]
- Le produit des racines :\[ x_1 imes x_2 = rac{c}{a} \]
Résumé
Le discriminant permet de connaître le nombre de racines, et les racines peuvent être calculées grâce à la formule :
\[ x_{1,2} = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Les relations entre racines et coefficients sont :
- Somme : \( x_1 + x_2 = - rac{b}{a} \)
- Produit : \( x_1 imes x_2 = rac{c}{a} \)
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