Fonctions sinus et cosinus, équations trigonométriques

Sinus et cosinus sont des fonctions qui se répètent tous les \(2\pi\), comme une roue qui tourne : on les dérive facilement (\(\sin' = \cos\), \(\cos' = -\sin\)) et on résout leurs équations en lisant le cercle trigonométrique.

Objectifs

Connaître les propriétés des fonctions sinus et cosinus : ensemble de définition, périodicité, parité, dérivées, variations, courbes.
Dériver des fonctions du type \(x \mapsto \sin(ax+b)\) et \(x \mapsto \cos(ax+b)\), connaître les limites de référence.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) puis dans un intervalle les équations \(\cos x = \cos a\) et \(\sin x = \sin a\).
Résoudre une équation du type \(a\cos x + b\sin x = c\) et une inéquation simple à l’aide du cercle trigonométrique.

1. Rappels : le cercle trigonométrique

Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon 1, sens direct), le point \(M\) associé au réel \(x\) a pour coordonnées \((\cos x\,;\,\sin x)\). Donc pour tout réel \(x\) :

\[-1 \leq \cos x \leq 1, \qquad -1 \leq \sin x \leq 1, \qquad \cos^2 x + \sin^2 x = 1\]

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(0\)

Combien vaut \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\) ?

\(\dfrac{1}{2}\)
\(-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\), donc \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\).

2. Les fonctions sinus et cosinus

Propriétés

Elles sont définies sur \(\mathbb{R}\).
Périodicité : pour tout \(x\), \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) et \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) : elles sont \(2\pi\)-périodiques. On les étudie donc sur un intervalle de longueur \(2\pi\), par exemple \([-\pi\,;\,\pi]\).
Parité : cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées), sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à l’origine). On peut donc réduire l’étude à \([0\,;\,\pi]\).
Dérivées : elles sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et \[\sin' = \cos \qquad \cos' = -\sin\]

Variations sur \([0\,;\,\pi]\)

\(\cos' (x) = -\sin x \leq 0\) sur \([0\,;\,\pi]\) : cosinus décroît de \(1\) à \(-1\).
\(\sin'(x) = \cos x\) est positif sur \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\) et négatif sur \(\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\) : sinus croît de \(0\) à \(1\), puis décroît de \(1\) à \(0\).

Déplace le curseur p : la courbe de \(\cos(x + p)\) glisse. Pour \(p\) proche de \(-\frac{\pi}{2} \approx -1{,}57\), elle se superpose à la courbe de sinus, car \(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x\).

Fonctions \(x \mapsto \sin(ax+b)\) et \(x \mapsto \cos(ax+b)\)

Joue avec l’amplitude A, le coefficient a et le décalage b : A étire verticalement, a resserre la courbe (période \(\frac{2\pi}{|a|}\)), b la fait glisser.

Limites de référence

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0\]

Elles viennent du nombre dérivé en 0 : \(\dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0}\) tend vers \(\sin'(0) = \cos 0 = 1\), et \(\dfrac{\cos x - \cos 0}{x - 0}\) tend vers \(\cos'(0) = -\sin 0 = 0\).

Exemple résolu 1 : dériver

Dérive \(f(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\) et \(g(x) = \cos^2 x\). Cherche d’abord.

\(f\) est de la forme \(\sin(ax+b)\) avec \(a = 3\) : \(f'(x) = 3\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\). Sa période est \(\frac{2\pi}{3}\).

\(g = u^2\) avec \(u = \cos\) : \(g' = 2u\,u'\), donc \(g'(x) = 2\cos x \times (-\sin x) = -2\sin x\cos x\).

Avec \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\), on peut écrire \(g'(x) = -\sin(2x)\).

Quelle est la dérivée de \(h(x) = \cos(2x + 1)\) ?

\(\sin(2x + 1)\)
\(-\sin(2x + 1)\)
\(-2\sin(2x + 1)\)

\(\big(\cos(ax+b)\big)' = -a\sin(ax+b)\) avec \(a = 2\).

3. Équations trigonométriques

Visualise la résolution de \(\cos x = \frac{1}{2}\) sur le cercle :

On trace la droite verticale d’abscisse 1/2 : les solutions sont les points du cercle situés sur cette droite.

Elle coupe le cercle en un premier point, associé à π/3 car cos(π/3) = 1/2.

Le second point est son symétrique par rapport à l’axe des abscisses, associé à −π/3. D’où x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ.

Exemple résolu 2

Résous dans \(\mathbb{R}\) puis dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) l’équation \(\cos x = \frac{1}{2}\).

Voir la solution

\(\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}\), donc \(\cos x = \cos\frac{\pi}{3} \iff x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Dans \(]-\pi\,;\,\pi]\), seul \(k = 0\) convient : \(S = \left\{-\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{\pi}{3}\right\}\).

Exemple résolu 3

Résous dans \([0\,;\,2\pi[\) l’équation \(\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}\), donc \(2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\).

On divise par 2 (le \(2k\pi\) devient \(k\pi\)) : \(x = \frac{\pi}{8} + k\pi\) ou \(x = \frac{3\pi}{8} + k\pi\).

Dans \([0\,;\,2\pi[\), on prend \(k = 0\) et \(k = 1\) : \(S = \left\{\frac{\pi}{8}\,;\,\frac{3\pi}{8}\,;\,\frac{9\pi}{8}\,;\,\frac{11\pi}{8}\right\}\).

Exemple résolu 4

Résous dans \([0\,;\,2\pi[\) l’équation \(\cos(2x) = \cos x\).

\(2x = x + 2k\pi\), soit \(x = 2k\pi\) ; ou \(2x = -x + 2k\pi\), soit \(3x = 2k\pi\) et \(x = \frac{2k\pi}{3}\).

La première famille est contenue dans la seconde (prendre \(k\) multiple de 3) : les solutions sont \(x = \frac{2k\pi}{3}\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Dans \([0\,;\,2\pi[\) : \(S = \left\{0\,;\,\frac{2\pi}{3}\,;\,\frac{4\pi}{3}\right\}\).

Quelles sont les solutions dans \(\mathbb{R}\) de \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) ?

\(x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
\(x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\)
\(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

\(\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\), et l’autre solution est \(\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). La réponse 2 est la règle du cosinus.

4. Équations \(a\cos x + b\sin x = c\) et inéquations

Exemple résolu 5

Résous dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt{3}\cos x + \sin x = 1\). Cherche d’abord.

\(a = \sqrt{3}\), \(b = 1\), \(r = \sqrt{3 + 1} = 2\). On cherche \(\varphi\) avec \(\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\varphi = \frac{1}{2}\) : \(\varphi = \frac{\pi}{6}\).

L’équation s’écrit \(2\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1\), soit \(\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}\).

\(x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\).

D’où \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Vérification : pour \(x = \frac{\pi}{2}\), \(\sqrt{3} \times 0 + 1 = 1\) ; pour \(x = -\frac{\pi}{6}\), \(\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1\).

Inéquations

Pour une inéquation, on repère sur le cercle l’arc des points qui conviennent, puis on lit l’intervalle.

Exemple : sur \(]-\pi\,;\,\pi]\), \(\cos x \geq \frac{1}{2}\) correspond aux points du cercle situés à droite de la droite d’abscisse \(\frac{1}{2}\) (voir la figure plus haut), c’est-à-dire l’arc de \(-\frac{\pi}{3}\) à \(\frac{\pi}{3}\) : \(S = \left[-\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{\pi}{3}\right]\).

Sur \([0\,;\,2\pi[\), quel est l’ensemble des solutions de \(\sin x > 0\) ?

\(\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\)
\(]0\,;\,\pi[\)
\(]\pi\,;\,2\pi[\)

Le sinus est l’ordonnée : elle est strictement positive pour les points de la moitié supérieure du cercle, de \(0\) exclu à \(\pi\) exclu.

L’équation \(3\cos x + 4\sin x = 6\) a-t-elle des solutions ?

Oui, deux solutions par période
Oui, une seule solution
Non, aucune

\(r = \sqrt{9 + 16} = 5\) et \(6 > 5\) : \(3\cos x + 4\sin x = 5\cos(x - \varphi)\) ne dépasse jamais 5.

Erreurs fréquentes

Oublier le « \(+ 2k\pi\) » ou la seconde famille de solutions.
Utiliser \(-a\) pour le sinus (c’est \(\pi - a\)) ou \(\pi - a\) pour le cosinus (c’est \(-a\)).
Ne pas diviser le \(2k\pi\) par le coefficient de \(x\).
Oublier le facteur \(a\) ou le signe moins en dérivant \(\cos(ax+b)\).
Calculer avec la calculatrice en degrés alors que l’énoncé est en radians.

Récapitulatif

Sinus et cosinus sont définies sur \(\mathbb{R}\), \(2\pi\)-périodiques, sinus impaire et cosinus paire, avec \(\sin' = \cos\) et \(\cos' = -\sin\). On résout \(\cos x = \cos a\) avec \(\pm a + 2k\pi\), \(\sin x = \sin a\) avec \(a + 2k\pi\) ou \(\pi - a + 2k\pi\), puis on sélectionne les solutions de l’intervalle demandé. Pour \(a\cos x + b\sin x = c\), on se ramène à \(r\cos(x - \varphi) = c\).

Période de sin et cos

\(2\pi\) ; pour \(\sin(ax+b)\) : \(\frac{2\pi}{|a|}\)

Dérivées

\(\sin' = \cos\), \(\cos' = -\sin\)

\(\cos x = \cos a\)

\(x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\)

\(\sin x = \sin a\)

\(x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\)

Limite de référence

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

\(a\cos x + b\sin x\)

\(r\cos(x - \varphi)\) avec \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)