Fonctions trigonométriques : Cercle trigonométrique, Radian, Image d’un réel

1. Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O (l’origine du repère) et de rayon 1, situé dans le plan du repère orthogonal (Oxy).
Il permet de représenter les angles et les valeurs des fonctions sinus et cosinus.

Pour un point M sur le cercle, avec l’angle α défini par la demi-droite Ox (axe des abscisses), la projection de M sur l’axe Ox donne la valeur cos(α), et la projection sur l’axe vertical donne sin(α).

Schéma illustratif :

2. La mesure d’un angle en radian

Le radian est une unité de mesure d’angles. 1 radian est l’angle au centre d’un cercle dont l’arc intercepté a la même longueur que le rayon du cercle.

Conversion entre degrés et radians :
◦ En radians : α (en rad) = (π/180) × angle en degrés

Exemple :
- 180° = π rad
- 90° = π/2 rad

3. Image d’un réel par une fonction trigonométrique

Pour une valeur réelle x, l’image par la fonction sinus ou cosinus est donnée par :

• sin(x) : valeur entre -1 et 1, représentant la projection verticale d’un point sur le cercle lors d’un déplacement de x radians
• cos(x) : valeur entre -1 et 1, représentant la projection horizontale

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques avec une période de 2π :

Fonction	Description
sin(x)	Valeur de la projection verticale
cos(x)	Valeur de la projection horizontale

La valeur de sin(x) et cos(x) dépend de l’angle x exprimé en radians. Par exemple,
- sin(0) = 0
- cos(0) = 1

Résumé

• Le cercle trigonométrique permet de représenter les angles et les valeurs trigonométriques.
• Le radian est l’unité d’angle basée sur le rayon du cercle.
• Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, avec une période de 2π, et leurs valeurs oscillent entre -1 et 1.

Conseil : Maîtriser la conversion entre degrés et radians est essentiel pour comprendre les fonctions trigonométriques.