Fonctions trigonométriques : Parité, périodicité et représentation graphique

1. Introduction aux fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques principales sont : sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cotangente (cot), secante (sec) et cosécante (csc).
Nous allons étudier leurs propriétés de parité, de périodicité et leur représentation graphique.

2. Parité des fonctions trigonométriques

Une fonction \(f\) est paire si : \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\).
Elle est impaire si : \(f(-x) = -f(x)\).

2.1 Parité du sinus et du cosinus

• Cosinus : \(\cos(-x) = \cos(x)\) → fonction paire.
• Sinus : \(\sin(-x) = -\sin(x)\) → fonction impaire.

2.2 Parité des autres fonctions

• Tangent : \( an(-x) = - an(x)\) → impair.
• Secante, Côtangente, Cosécante : même propriété que cosinus ou sinus selon les cas, souvent impaires ou paires suivant la fonction.

3. Périodicité des fonctions trigonométriques

Une fonction est périodique si elle se répète à intervalles réguliers. La plus petite période positive est appelée période fondamentale.

3.1 Périodicité du cosinus et du sinus

La période de ces fonctions est \(2\pi\).
Autrement dit, pour tout \(x\): \[f(x + 2\pi) = f(x)\].

3.2 Périodicité de la tangente

La période est \(\pi\).
Pour tout \(x\): \[ an(x + \pi) = an(x). \]

4. Représentation graphique

Les graphiques des fonctions sinus et cosinus sont des courbes sinusoidales, symétriques par rapport à l'origine pour le sinus (fonction impaire) et par rapport à l'axe vertical pour le cosinus (fonction paire).

4.1 Graphique du sinus

4.2 Graphique du cosinus

Ces courbes montrent clairement la périodicité et la parité de chaque fonction.

5. Conclusion

Les fonctions trigonométriques ont des propriétés essentielles :

• Parité (sinus impair, cosinus pair).
• Périodicité (sinus et cosinus avec période \(2\pi\), tangente avec période \(\pi\)).
• Représentation graphique en courbes sinusoidales ayant des symétries spécifiques.