Mémoriser les valeurs de \(\sin\) et \(\cos\) aux angles usuels (0, \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{\pi}{2}\)) et savoir utiliser la symétrie sur le cercle trigonométrique.

Valeurs remarquables — Fonctions trigonométriques

Niveau : 1ère. Durée estimée : 20–30 minutes.

Objectifs

Connaître les valeurs de \(\sin\) et \(\cos\) pour les angles classiques.
Comprendre pourquoi ces valeurs apparaissent (triangle, cercle unité).
Savoir déduire les valeurs dans les différents quadrants (signes).

Notions clés

Cercle trigonométrique (rappel visuel)

Le cercle unité (centre O, rayon 1) permet de lire \(\cos\theta\) comme l'abscisse et \(\sin\theta\) comme l'ordonnée du point situé à l'angle \(\theta\) mesuré depuis l'axe des abscisses.

Valeurs remarquables (angles en radians)

Voici les valeurs courantes à connaître. On les obtient à partir de triangles particuliers (30°-60° et 45°-45°) ou en lisant le cercle.

\[ \begin{align} \sin 0 &= 0, & \cos 0 &= 1,\\ \sin \tfrac{\pi}{6} &= \tfrac{1}{2}, & \cos \tfrac{\pi}{6} &= \tfrac{\sqrt{3}}{2},\\ \sin \tfrac{\pi}{4} &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}, & \cos \tfrac{\pi}{4} &= \tfrac{\sqrt{2}}{2},\\ \sin \tfrac{\pi}{3} &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}, & \cos \tfrac{\pi}{3} &= \tfrac{1}{2},\\ \sin \tfrac{\pi}{2} &= 1, & \cos \tfrac{\pi}{2} &= 0. \end{align} \]

Quelle est la valeur de \(\cos\tfrac{\pi}{4}\) ?

\(\tfrac{1}{2}\)
\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)

C'est \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) car le triangle isocèle droit de côté hypothénuse 1 a côtés adjacents de longueur \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Exemples résolus

Exemple 1 — Calculer \(\sin\tfrac{\pi}{4}\) et \(\cos\tfrac{\pi}{4}\)

Cherche d'abord : pourquoi ces deux valeurs sont-elles égales ?

Étape 1 : Considère un triangle isocèle droit (angles 45°-45°-90°) de sommet à l'origine sur le cercle unité ; l'hypoténuse = 1.

Étape 2 : Les deux côtés adjacents sont égaux ; si leur longueur est \(x\), alors \(x^2+x^2=1^2\).

Étape 3 : On obtient \(2x^2=1\) donc \(x=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\). Ainsi \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Exemple 2 — Utiliser la symétrie : trouver \(\sin\tfrac{5\pi}{6}\)

Cherche d'abord : quel angle de référence correspond à \(\tfrac{5\pi}{6}\) et quel est le signe du sinus dans ce quadrant ?

Voir la solution

Le point d'angle \(\tfrac{5\pi}{6}\) est dans le 2e quadrant (entre \(\tfrac{\pi}{2}\) et \(\pi\)). L'angle de référence est \(\pi-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}\). Dans le 2e quadrant, \(\sin\) est positif, donc :

\[\sin\tfrac{5\pi}{6}=\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}.\]

Quel est le signe de \(\cos\) et \(\sin\) dans le 3e quadrant ?

\(\cos<0, \sin<0\)
\(\cos>0, \sin<0\)
\(\cos<0, \sin>0\)

Dans le 3e quadrant (entre \(\pi\) et \(\tfrac{3\pi}{2}\)), les deux coordonnées (abscisse et ordonnée) sont négatives.

Erreurs fréquentes

Autres erreurs courantes :

Oublier que \(\sin\) et \(\cos\) sont liés par \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\).
Se tromper d'angle en degrés vs radians ; toujours vérifier l'unité.
Penser que \(\sin\) et \(\cos\) prennent seulement des valeurs entières ou rationnelles : il y a souvent des racines.

On sait que \(\cos\theta= -\tfrac{1}{2}\) et \(\theta\) est dans \(\![0,2\pi[\). Quelle mesure est possible pour \(\theta\) ?

\(\tfrac{\pi}{6}\)
\(\tfrac{\pi}{3}\)
\(\tfrac{2\pi}{3}\)

\(\cos\tfrac{2\pi}{3}= -\tfrac{1}{2}\) (deuxième quadrant). Les valeurs \(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{3}\) donnent des cosinus positifs.

Récapitulatif rapide

Connaître la table des valeurs pour 0, \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{\pi}{2}\).
Utiliser le cercle unité pour déduire signe et valeur via l'angle de référence.
Se souvenir de l'identité \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) pour vérifier.

Cartes mémo

Table principale

Voir : \(\sin\) et \(\cos\) pour 0, \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{\pi}{2}\)

Identité

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

Quadrants

Signe de (cos,sin) : I(+,+), II(-,+), III(-,-), IV(+,-)

Angle de référence

Utiliser \(\pi-\theta\) ou \(\theta-\pi\) selon le quadrant pour retrouver la valeur absolue

Complément

\(\sin(\tfrac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta\)