Force de gravitation et champ gravitationnel

Force de gravitation et champ gravitationnel — Niveau 1ère

Objectifs : connaître la loi de la gravitation universelle, définir le champ gravitationnel, relier poids et champ, appliquer au voisinage de la Terre.

1. Loi de la gravitation universelle

Deux masses ponctuelles m₁ et m₂ séparées par la distance r s'attirent par une force attractive donnée par :

F = G · (m₁ m₂) / r²

Vecteur : F₁₂ = -G m₁ m₂ / r² u_r (direction vers l'autre masse)

Constante gravitationnelle : G = 6.67430 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2.

Remarque : la force est toujours attractive et obéit au principe de superposition (somme vectorielle des contributions de chaque masse).

2. Champ gravitationnel

On définit le champ gravitationnel g créé par une masse source M en un point situé à la distance r par :

g(r) = F / m = -G M / r² u_r

|g(r)| = G M / r²

Interprétation : g est l'accélération qu'aurait une masse test m placée en ce point si seules les forces gravitationnelles agissaient (puisque F = m g).

3. Poids et relation avec le champ

Le poids P d'un objet de masse m au voisinage d'une masse source M (par exemple la Terre) est :

P = m g (vecteur) ; en module : P = m |g|

Autrement dit, le poids est la force gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet.

4. Approximation près de la surface de la Terre

Pour la Terre (masse M_⊕ ≈ 5.972 × 10²⁴ kg, rayon R ≈ 6.371 × 10⁶ m) on définit g₀ au niveau du sol :

g₀ = G M_⊕ / R² ≈ 9.81 m·s^-2

À une altitude h (h << R),

g(h) = g₀ · (R / (R + h))² ≈ g₀ (1 - 2h / R)

On en déduit les variations de poids avec l'altitude.

5. Énergie potentielle gravitationnelle et potentiel

Pour deux masses m et M séparées par r, l'énergie potentielle gravitationnelle (choix U(∞)=0) :

U(r) = -G m M / r

Potentiel gravitationnel (par unité de masse) : V(r) = U/m = -G M / r, et g = -∇V

6. Exemples et calculs rapides

Force entre deux masses de 1 kg séparées de 1 m :
F = G (1·1)/1² = 6.67430·10^-11 N. Très faible.
g à l'altitude de l'ISS (h ≈ 400 km) :
g(h) ≈ g₀ (R/(R+h))² = 9.81 × (6371/6771)² ≈ 8.69 m·s^-2.
Poids d'une personne de 70 kg :
P = m g ≈ 70 × 9.81 ≈ 687 N (direction : vers le centre de la Terre).

7. Exercices courts (avec indications)

Calculer la force gravitationnelle entre la Terre (M_⊕) et un objet de 1 kg au niveau du sol. Indication : utilisez F = m g₀.

Réponse : F ≈ 1 × 9.81 = 9.81 N.
Deux petites billes de masse 0.2 kg sont séparées de 0.5 m. Calculer la force d'attraction.

Réponse : F = G·(0.2·0.2)/0.5² ≈ 6.674e-11·0.04/0.25 ≈ 1.07e-11 N (très faible).

8. Points importants à retenir

La gravitation est universelle et attractive ; la loi est inversement proportionnelle au carré de la distance.
Le champ gravitationnel g = F/m caractérise l'effet d'une source sur une masse test ; le poids est P = m g.
Près de la surface de la Terre on prend g ≈ 9.81 m·s^-2, mais g diminue avec l'altitude suivant (R/(R+h))².
La superposition permet de traiter plusieurs masses par somme vectorielle des champs.