Force de Lorentz

Une particule chargée qui se déplace dans un champ magnétique subit une force toujours perpendiculaire à sa vitesse : cette force ne l'accélère pas, elle la fait tourner, comme une corde qui retient une pierre en rotation.

Objectifs

Connaître l'expression vectorielle de la force de Lorentz et ses caractéristiques.
Déterminer le sens de la force avec la règle de la main droite, selon le signe de la charge.
Montrer que cette force ne modifie pas la valeur de la vitesse.
Établir la trajectoire circulaire dans un champ uniforme, son rayon et sa période.
Comprendre quelques applications : déflexion, spectrographe de masse, cyclotron.

1. L'expression de la force de Lorentz

Une particule de charge \( q \), animée d'une vitesse \( \vec{v} \) dans un champ magnétique \( \vec{B} \), subit la force de Lorentz :

\[ \vec{F} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} \]

Ses caractéristiques :

direction : perpendiculaire au plan formé par \( \vec{v} \) et \( \vec{B} \) ;
sens : tel que le trièdre \( (q\vec{v}, \vec{B}, \vec{F}) \) soit direct ;
valeur : \( F = |q|\,v\,B\,|\sin\alpha| \), où \( \alpha \) est l'angle entre \( \vec{v} \) et \( \vec{B} \).

Le sens : règle de la main droite

Main droite ouverte, trois doigts perpendiculaires entre eux : le pouce dans le sens de \( q\vec{v} \), l'index dans le sens de \( \vec{B} \) ; le majeur indique alors le sens de \( \vec{F} \).

Exemple résolu : un ordre de grandeur

Un proton (\( q = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C} \), \( m = 1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg} \)) se déplace à \( v = 1{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \) perpendiculairement à un champ \( B = 0{,}10\ \text{T} \). Compare la force de Lorentz à son poids (\( g = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1} \)). Cherche d'abord.

Force de Lorentz : \[ F = q\,v\,B = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 1{,}0 \times 10^{6} \times 0{,}10 = 1{,}6 \times 10^{-14}\ \text{N} \]

Poids : \[ P = m\,g = 1{,}67 \times 10^{-27} \times 9{,}8 \approx 1{,}6 \times 10^{-26}\ \text{N} \]

Rapport : \[ \dfrac{F}{P} \approx \dfrac{1{,}6 \times 10^{-14}}{1{,}6 \times 10^{-26}} = 10^{12} \] Le poids est totalement négligeable : seule la force de Lorentz compte.

Un électron se déplace parallèlement aux lignes d'un champ magnétique uniforme. Quelle force magnétique subit-il ?

Une force maximale, perpendiculaire à sa vitesse
Une force qui le freine
Aucune force

\( \alpha = 0 \) donc \( \sin\alpha = 0 \) et \( F = 0 \) : l'électron continue en ligne droite.

On remplace un proton par un électron de même vitesse, dans le même champ. Que devient la force ?

Même valeur, sens opposé
Même valeur, même sens
Force nulle

Les deux charges ont la même valeur absolue \( e \) mais des signes opposés : \( F = e\,v\,B \) est identique, le sens est inversé.

2. Une force qui ne travaille pas

Comme \( \vec{F} \) est toujours perpendiculaire à \( \vec{v} \), sa puissance est nulle :

\[ \mathcal{P} = \vec{F} \cdot \vec{v} = 0 \]

D'après le théorème de l'énergie cinétique, \( E_c = \tfrac{1}{2} m v^2 \) reste constante : la valeur de la vitesse ne change pas. Seule la direction de \( \vec{v} \) est modifiée. Le mouvement est donc uniforme.

3. Mouvement dans un champ magnétique uniforme

On lance une particule de charge \( q > 0 \) avec une vitesse \( \vec{v}_0 \) perpendiculaire à un champ \( \vec{B} \) uniforme (ici \( \vec{B} \) entre dans la feuille, symbole ×).

Règle de la main droite : pouce vers la droite (q v), index vers l'intérieur de la feuille (B) ; le majeur pointe vers le haut : la force est perpendiculaire à la vitesse.

La force, toujours perpendiculaire à la vitesse et de valeur constante, courbe la trajectoire en un cercle de centre O.

Le mouvement est circulaire uniforme de rayon R, parcouru ici dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (il serait inversé pour un électron).

Démonstration du rayon

Système : la particule ; référentiel du laboratoire supposé galiléen ; poids négligeable. Seule force : \( \vec{F} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} \).

Deuxième loi de Newton : \( m\,\vec{a} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} \). L'accélération est perpendiculaire à \( \vec{v} \) : elle est normale, \( a_t = 0 \), donc \( v = v_0 \) constante.

Dans le repère de Frenet, l'accélération normale vaut \( a_n = \dfrac{v_0^2}{R} \), d'où \[ m\,\dfrac{v_0^2}{R} = |q|\,v_0\,B \]

On en déduit le rayon, constant : la trajectoire est un cercle. \[ R = \dfrac{m\,v_0}{|q|\,B} \]

Période (durée d'un tour) : \[ T = \dfrac{2\pi R}{v_0} = \dfrac{2\pi m}{|q|\,B} \] Elle ne dépend pas de la vitesse !

Fais varier \( B \) et la vitesse du proton (en millions de mètres par seconde) et observe le rayon :

Plus le champ est intense, plus le cercle est petit ; plus la particule est rapide, plus le cercle est grand.

Exemple résolu

Reprends le proton précédent (\( v_0 = 1{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \), \( B = 0{,}10\ \text{T} \)). Calcule le rayon et la période de sa trajectoire. Cherche d'abord.

Voir la solution

\begin{align} R &= \dfrac{m\,v_0}{|q|\,B} = \dfrac{1{,}67 \times 10^{-27} \times 1{,}0 \times 10^{6}}{1{,}6 \times 10^{-19} \times 0{,}10} \approx 0{,}104\ \text{m} \approx 10\ \text{cm} \\ T &= \dfrac{2\pi m}{|q|\,B} = \dfrac{2\pi \times 1{,}67 \times 10^{-27}}{1{,}6 \times 10^{-19} \times 0{,}10} \approx 6{,}6 \times 10^{-7}\ \text{s} \end{align}

Le proton fait plus d'un million et demi de tours par seconde.

On double la vitesse d'une particule dans le même champ uniforme. Que deviennent le rayon et la période ?

Le rayon double, la période double
Le rayon double, la période ne change pas
Le rayon ne change pas, la période est divisée par deux

\( R = \dfrac{mv}{|q|B} \) est proportionnel à \( v \) ; \( T = \dfrac{2\pi m}{|q|B} \) ne dépend pas de \( v \) : la particule va deux fois plus vite sur un cercle deux fois plus long.

Un électron et un proton ont la même vitesse, perpendiculaire au même champ. Lequel décrit le plus petit cercle ?

Le proton
Ils ont le même rayon
L'électron

Même charge en valeur absolue et même vitesse : \( R \) est proportionnel à la masse. L'électron, environ 1 800 fois plus léger, décrit un cercle bien plus petit (et dans l'autre sens).

4. Applications

La déflexion magnétique

Un faisceau d'électrons qui traverse une zone de champ magnétique est dévié sur un arc de cercle. Les anciens téléviseurs et oscilloscopes à tube utilisaient des bobines pour orienter le faisceau vers chaque point de l'écran.

Le spectrographe de masse

flowchart LR
A[Source d ions] --> B[Acceleration par une tension U]
B --> C[Chambre de deviation avec B]
C --> D[Impacts sur le detecteur]

Des ions de même charge \( q \), accélérés sous la même tension \( U \), entrent dans le champ avec la vitesse \( v_0 = \sqrt{\dfrac{2|q|U}{m}} \). Ils décrivent un demi-cercle de rayon :

\[ R = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2\,m\,U}{|q|}} \]

Les ions plus lourds décrivent un plus grand cercle : ils frappent le détecteur plus loin. On sépare ainsi les isotopes d'un élément.

Exemple : les ions \( \ce{^6Li+} \) et \( \ce{^7Li+} \) sont accélérés sous la même tension. Quel est le rapport de leurs rayons ? Cherche d'abord.

Voir la solution

Même \( q \), même \( U \), même \( B \) : \( R \) est proportionnel à \( \sqrt{m} \).

\[ \dfrac{R_7}{R_6} = \sqrt{\dfrac{m_7}{m_6}} \approx \sqrt{\dfrac{7}{6}} \approx 1{,}08 \]

Le rayon de l'ion lithium 7 est environ 8 % plus grand : les deux isotopes arrivent à deux endroits distincts du détecteur.

Le cyclotron

Dans un cyclotron, les particules tournent dans deux demi-boîtes en forme de « D » plongées dans un champ magnétique. À chaque passage entre les deux « D », un champ électrique les accélère. Comme la période \( T = \dfrac{2\pi m}{|q|B} \) ne dépend pas de la vitesse, on peut inverser la tension toujours au même rythme : la particule tourne sur une spirale de plus en plus grande. Les cyclotrons servent notamment à produire des isotopes utilisés en médecine.

Dans un spectrographe, deux isotopes de même charge sont accélérés sous la même tension. Lequel arrive le plus loin de la fente d'entrée ?

Le plus lourd
Le plus léger
Ils arrivent au même endroit

\( R \) est proportionnel à \( \sqrt{m} \) : l'isotope le plus lourd décrit le plus grand demi-cercle, donc arrive le plus loin.

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser le sens de la force pour une charge négative.
Croire que la force magnétique change la valeur de la vitesse : elle ne change que sa direction.
Écrire \( R = \dfrac{m\,v}{q\,B} \) avec \( q \) négatif : on utilise \( |q| \).
Oublier que \( F = 0 \) quand la vitesse est parallèle au champ.
Penser que la période dépend de la vitesse.

Récapitulatif

Une charge \( q \) de vitesse \( \vec{v} \) dans un champ \( \vec{B} \) subit \( \vec{F} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} \), perpendiculaire à \( \vec{v} \) et à \( \vec{B} \), de valeur \( |q|\,v\,B\,|\sin\alpha| \). Cette force ne travaille pas : la vitesse garde sa valeur. Lancée perpendiculairement à un champ uniforme, la particule décrit un cercle de rayon \( R = \dfrac{m v_0}{|q| B} \) à vitesse constante, avec une période indépendante de la vitesse. Ces propriétés sont exploitées dans la déflexion des faisceaux, le spectrographe de masse et le cyclotron.

Force de Lorentz

\( \vec{F} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} \), de valeur \( |q|\,v\,B\,|\sin\alpha| \).

Sens de la force

Trièdre \( (q\vec{v}, \vec{B}, \vec{F}) \) direct : pouce, index, majeur de la main droite.

Travail de la force

Nul, car \( \vec{F} \perp \vec{v} \) : la valeur de la vitesse reste constante.

Rayon de la trajectoire

\( R = \dfrac{m\,v_0}{|q|\,B} \)

Période

\( T = \dfrac{2\pi m}{|q|\,B} \), indépendante de la vitesse.

Spectrographe de masse

Sépare les isotopes : \( R \) est proportionnel à \( \sqrt{m} \).