Forces conservatives et non-conservatives

Physique-Chimie, classe de 1ère, thème : Phénomènes mécaniques

Une force conservative (comme le poids) travaille sans se soucier du chemin et conserve l'énergie mécanique ; une force non conservative (comme les frottements) dépend du chemin et fait perdre de l'énergie mécanique.

Objectifs

Calculer le travail du poids et constater qu'il ne dépend pas du chemin suivi.
Distinguer une force conservative d'une force non conservative.
Associer une énergie potentielle à une force conservative (pesanteur, ressort).
Définir l'énergie mécanique \( E_m = E_c + E_p \) et savoir quand elle se conserve.
Utiliser la relation \( \Delta E_m = W(\vec{f}_{nc}) \) pour trouver une force de frottement.

1. Rappel : le travail d'une force constante

Le travail d'une force constante \( \vec{F} \) dont le point d'application se déplace de A à B en ligne droite vaut :

\[ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos\alpha \]

où \( \alpha \) est l'angle entre la force et le déplacement. Le travail s'exprime en joules (J).

\( W > 0 \) : travail moteur (la force aide le mouvement).
\( W < 0 \) : travail résistant (la force freine le mouvement).
\( W = 0 \) : la force est perpendiculaire au déplacement.

Une force de 50 N fait un angle de 90° avec le déplacement de 10 m. Que vaut son travail ?

500 J
250 J
0 J

Comme cos 90° = 0, le travail est nul : la force ne fait ni avancer ni freiner l'objet.

2. Le travail du poids ne dépend pas du chemin

Pour un objet de masse \( m \) qui passe d'une altitude \( z_A \) à une altitude \( z_B \) (axe vertical orienté vers le haut), on montre que :

\[ W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B) \]

Seule la différence d'altitude compte. Le trajet (escalier, rampe, chemin tordu) n'intervient pas : sur un chemin quelconque, on découpe le trajet en petits morceaux, et seuls les déplacements verticaux donnent un travail du poids.

Chemin 1 : l'escalier. Seules les montées verticales des marches donnent un travail du poids ; les parties horizontales donnent un travail nul.

Chemin 2 : la rampe, plus longue mais moins raide. Le poids travaille tout le long, mais l'angle avec le déplacement est plus proche de 90°.

Dans les deux cas, le dénivelé est le même (h = 3 m) : le travail du poids est donc identique, il vaut \( -mgh \).

Exemple résolu 1 : le sac de riz

Sac de masse \( m = 25 \text{ kg} \), dénivelé \( h = 3{,}0 \text{ m} \), \( g = 9{,}8 \text{ N/kg} \). Calcule le travail du poids par l'escalier puis par la rampe. Cherche d'abord.

On applique \( W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) \) avec \( z_A - z_B = -3{,}0 \text{ m} \) (on monte).

\[ W_{AB}(\vec{P}) = 25 \times 9{,}8 \times (-3{,}0) = -735 \text{ J} \]

Par la rampe : même dénivelé, donc même résultat, \( -735 \text{ J} \). Le travail est résistant car le sac monte.

Une mangue de 0,30 kg tombe d'une branche située 4,0 m au-dessus du sol, en zigzaguant entre les feuilles. Que vaut le travail de son poids (g = 9,8 N/kg) ?

Il est impossible à calculer à cause du zigzag
Environ 11,8 J
Environ -11,8 J

Le poids est conservatif : seul le dénivelé compte. W = mgh = 0,30 × 9,8 × 4,0 ≈ 11,8 J, positif car la mangue descend.

3. Les forces non conservatives : le chemin compte

Une force de frottement \( \vec{f} \) de valeur constante est toujours opposée au mouvement. Sur un trajet de longueur totale \( L \) :

\[ W(\vec{f}) = -f \times L \]

Le travail dépend de la longueur du chemin : plus le trajet est long, plus le travail résistant est grand. Les frottements sont donc des forces non conservatives. C'est aussi le cas de la poussée d'un moteur ou de la force musculaire.

Exemple résolu 2 : deux trajets pour une même caisse

La force de frottement vaut \( f = 20 \text{ N} \). Trajet direct de 5,0 m ou détour de 8,0 m. Calcule le travail des frottements dans les deux cas.

Voir la solution

\[ W_{\text{direct}} = -20 \times 5{,}0 = -100 \text{ J} \qquad W_{\text{détour}} = -20 \times 8{,}0 = -160 \text{ J} \]

Mêmes points de départ et d'arrivée, mais travaux différents : la force de frottement n'est pas conservative.

flowchart TD
F[Force qui travaille] --> Q{Travail indépendant du chemin}
Q -->|oui| C[Force conservative]
Q -->|non| N[Force non conservative]
C --> C1[Poids]
C --> C2[Ressort]
N --> N1[Frottements]
N --> N2[Force motrice]

Laquelle de ces forces est non conservative ?

La résistance de l'air sur un ballon
Le poids d'un ballon
La force de rappel d'un ressort

La résistance de l'air est un frottement : son travail dépend de la longueur du trajet. Le poids et le ressort sont conservatifs.

4. À chaque force conservative, une énergie potentielle

Pour une force conservative, on peut définir une énergie potentielle \( E_p \) telle que :

\[ W_{AB}(\vec{F}_{c}) = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p \]

Énergie potentielle de pesanteur (axe vertical vers le haut, origine choisie) : \( E_{pp} = m\,g\,z \).
Énergie potentielle élastique d'un ressort de raideur \( k \) allongé ou comprimé de \( x \) : \( E_{pe} = \dfrac{1}{2}k\,x^2 \).

Il n'existe pas d'énergie potentielle associée aux frottements : leur travail dépend du chemin, on ne peut pas le « ranger » dans une fonction de la position.

Un ressort de raideur k = 200 N/m est comprimé de 0,10 m. Son énergie potentielle élastique vaut :

20 J
1,0 J
10 J

Epe = ½ × 200 × 0,10² = ½ × 200 × 0,010 = 1,0 J.

5. L'énergie mécanique : conservée ou non ?

L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :

\[ E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}m v^2 + m g z \]

Le théorème de l'énergie mécanique s'écrit :

\[ \Delta E_m = W(\vec{f}_{nc}) \]

où \( W(\vec{f}_{nc}) \) est la somme des travaux des forces non conservatives.

Si seules des forces conservatives travaillent (pas de frottements) : \( \Delta E_m = 0 \), l'énergie mécanique se conserve. L'énergie cinétique se transforme en énergie potentielle, et inversement.
Avec des frottements : \( W(\vec{f}) < 0 \), donc l'énergie mécanique diminue. L'énergie « perdue » n'a pas disparu : elle est transformée en énergie thermique (échauffement).

Manipule le graphique : il montre, pour une chute libre sans frottement depuis la hauteur H, l'énergie potentielle (qui croît avec l'altitude x), l'énergie cinétique (qui diminue quand x augmente) et leur somme, constante.

Observe que, quelle que soit la masse ou la hauteur choisie, la droite de \( E_m \) reste horizontale : ce que perd l'une des énergies, l'autre le gagne.

Exemple résolu 3 : chute sans frottement

Une bille est lâchée sans vitesse d'une hauteur \( h = 1{,}8 \text{ m} \). On néglige la résistance de l'air. Quelle est sa vitesse en touchant le sol ?

Seul le poids travaille : l'énergie mécanique se conserve, \( E_m(\text{haut}) = E_m(\text{sol}) \).

En haut : \( E_c = 0 \) et \( E_p = mgh \). Au sol (origine des altitudes) : \( E_p = 0 \) et \( E_c = \frac{1}{2}mv^2 \).

\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh} \]

\[ v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 1{,}8} = \sqrt{35{,}28} \approx 5{,}9 \text{ m/s} \] La masse n'intervient pas !

Exemple résolu 4 : le toboggan de l'école

Koffi (\( m = 30 \text{ kg} \)) part sans vitesse du haut d'un toboggan de hauteur \( h = 2{,}5 \text{ m} \) et de longueur \( L = 4{,}0 \text{ m} \). En bas, il va à \( v = 5{,}0 \text{ m/s} \). Calcule la variation d'énergie mécanique, puis la force de frottement supposée constante (\( g = 9{,}8 \text{ N/kg} \)). Cherche d'abord.

Voir la solution

\begin{align} E_m(\text{haut}) &= mgh = 30 \times 9{,}8 \times 2{,}5 = 735 \text{ J} \\ E_m(\text{bas}) &= \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2} \times 30 \times 5{,}0^2 = 375 \text{ J} \\ \Delta E_m &= 375 - 735 = -360 \text{ J} \end{align}

Or \( \Delta E_m = W(\vec{f}) = -f \times L \), donc :

\[ f = \frac{360}{4{,}0} = 90 \text{ N} \]

360 J ont été transformés en énergie thermique : le pantalon de Koffi et le toboggan se sont légèrement réchauffés.

Un taxi-moto freine jusqu'à l'arrêt sur une route horizontale. Que devient son énergie mécanique ?

Elle reste constante
Elle se transforme en énergie potentielle de pesanteur
Elle diminue : les frottements des freins la transforment en chaleur

La route est horizontale, donc Ep ne change pas, et Ec devient nulle : Em diminue. Les freins chauffent, c'est le travail des frottements.

Sans frottement, une balle lancée vers le haut repasse par son point de départ. Sa vitesse est alors :

La même valeur qu'au départ
Plus grande qu'au départ
Plus petite qu'au départ

Même altitude donc même Ep ; Em conservée donc même Ec, donc même valeur de vitesse.

Récapitulatif

Travail du poids : \( W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) \), indépendant du chemin.
Force conservative : travail indépendant du chemin, associée à une énergie potentielle (\( E_{pp} = mgz \), \( E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2 \)).
Force non conservative (frottements) : travail dépendant du chemin, \( W(\vec{f}) = -fL \).
\( E_m = E_c + E_p \) et \( \Delta E_m = W(\vec{f}_{nc}) \) : conservation sans frottement, diminution avec frottements.

Force conservative

Force dont le travail ne dépend que des points de départ et d'arrivée (poids, ressort).

Force non conservative

Force dont le travail dépend du chemin suivi (frottements, force motrice).

Travail du poids

W = mg(zA - zB) : positif à la descente, négatif à la montée.

Énergie potentielle

Énergie de position liée à une force conservative : mgz pour la pesanteur, ½kx² pour un ressort.

Énergie mécanique

Em = Ec + Ep ; sa variation est égale au travail des forces non conservatives.