1. Définitions

• Travail d'une force F le long d'un trajet C : W = ∫_C F · ds (produit scalaire intégral le long du chemin).
• Force conservative : le travail entre deux points dépend uniquement des positions initiale et finale, pas du chemin suivi. Le travail sur une boucle fermée est nul. Une force conservative admet une énergie potentielle U telle que F = -∇U (forme différentielle : W_A→B = U(A) - U(B)).
• Force non-conservative : le travail dépend du chemin suivi. Le travail sur une boucle fermée peut être non nul. Exemples courants : frottements, trainée de l'air.

2. Propriétés importantes

• Pour une force conservative : W_A→B = U(A) - U(B) = -ΔU ; en particulier W_sur boucle = 0.
• Théorème de l'énergie (mécanique) : ΔE_c = somme des travaux des forces extérieures = W_cons + W_nc. En regroupant avec U, on obtient : ΔE_c + ΔU = W_nc, soit ΔE_méc = W_nc.
• Si seules des forces conservatives agissent, l'énergie mécanique E_m = E_c + U est conservée (constante au cours du mouvement).

3. Exemples classiques

• Poids (champ uniforme près de la surface) : F = -m g k (vers le bas) — force conservative. On peut définir U = m g h (choix de référence h = 0 à convenir).
• Ressort (loi de Hooke) : F = -k x — force conservative. Énergie potentielle U = 1/2 k x² (x mesuré depuis l'équilibre).
• Frottements (sec ou visqueux) : forces non-conservatives. Leur travail dépend de la longueur du trajet et transforme l'énergie mécanique en chaleur.

4. Critères et tests pratiques

1. Comparer le travail sur deux trajectoires différentes entre les mêmes points : si les travaux diffèrent, la force n'est pas conservative.
2. Calculer le travail sur une boucle fermée : si non nul, la force n'est pas conservative.
3. Pour les élèves ayant déjà vu le calcul vectoriel : dans un domaine simplement connexe, si rot(F) = 0 alors F est conservative.

5. Méthode de résolution (procédure)

1. Lister les forces appliquées et classer : conservative ou non-conservative.
2. Si seules des forces conservatives interviennent → utiliser la conservation de l'énergie mécanique : E_c + U = constante.
3. Si des forces non-conservatives sont présentes → appliquer ΔE_méc = W_nc où W_nc est le travail des forces non-conservatives (souvent négatif en cas de frottements).
4. Choisir une origine pour U et calculer ΔU et ΔE_c pour trouver vitesses, hauteurs, ou positions.

6. Exercices rapides (avec réponses)

1. Objet de masse m glissant sans frottement d'une hauteur h jusqu'au bas : calculer la vitesse en bas.

   Réponse : conservation E_m → 1/2 m v² = m g h donc v = √(2 g h).

2. Bloc tiré sur une distance d sur une surface horizontale avec frottement cinétique f_k constant : travail du frottement ?

   Réponse : W_frott = -f_k · d (perte d'énergie mécanique égale en magnitude à cette quantité).

3. Ressort comprimé de x0 lâché sans frottement : vitesse au passage par l'équilibre.

   Réponse : 1/2 m v² = 1/2 k x0² → v = x0 · √(k/m).

7. Résumé

Forces conservatives : travail indépendant du chemin, existence d'une énergie potentielle U, et conservation de l'énergie mécanique si seules elles agissent. Forces non-conservatives : travail dépendant du chemin, conversion d'énergie mécanique en d'autres formes (chaleur), prise en compte via ΔE_méc = W_nc.