Comprendre et calculer comment l'énergie se transforme et se conserve (ou non) dans un système simple.

Bilan énergétique d'un système

Niveau : 3ème — Thème : Formes et conservation de l'énergie

Objectifs

Savoir définir l'énergie mécanique et ses composantes.
Écrire et utiliser le bilan énergétique d'un système simple.
Résoudre des problèmes numériques (chute, glissement) avec et sans frottements.

Notions clés

Énergie mécanique

Définition : L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.

Formule :

\[E_{m}=E_{c}+E_{p}\]

Avec pour le collège :

Énergie cinétique : \(E_{c}=\dfrac{1}{2}mv^{2}\) (en joules, J)
Énergie potentielle de pesanteur : \(E_{p}=mgh\) (pour des hauteurs petites, g \(\approx 9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\))

Travail, transferts et forces dissipatives

Le travail d'une force peut transférer de l'énergie d'un système à un autre. Les forces non conservative (frottements) dissipent de l'énergie mécanique en énergie thermique.

Si des forces dissipatives agissent, l'énergie mécanique du système diminue : la différence est transformée en chaleur.

Forces conservatives vs non-conservatives

Une force est conservative si le travail qu'elle réalise dépend seulement des positions initiale et finale (ex. poids, ressort idéal). Les forces de frottement sont non-conservatives.

Question — Quelle formule donne l'énergie cinétique d'un objet de masse m et vitesse v ?

\(E_c = m g h\)
\(E_c = \dfrac{1}{2} m v^{2}\)
\(E_c = m v\)

L'énergie cinétique est \(\dfrac{1}{2} m v^{2}\), réponse 2.

Le bilan énergétique d'un système

Principe (formulation simple pour la 3ème) :

Si seules des forces conservatives agissent (pas de frottements ni travail fourni par un agent extérieur), l'énergie mécanique se conserve :

\[E_{m,\text{initial}}=E_{m,\text{final}}\quad\text{(conservation)}\]

Si des forces non conservatives (frottements) effectuent un travail qui sort de la mécanique, l'énergie mécanique diminue et cette perte est transformée en chaleur (ou autre forme non mécanique) :

On peut écrire le bilan sous la forme :

\[\Delta E_{m}=E_{m,\text{final}}-E_{m,\text{initial}}=W_{\text{nc}}\, ,\]

où \(W_{\text{nc}}\) est la somme des travaux des forces non conservatives (souvent négatif si elles dissipent de l'énergie).

Question — Si un système subit des frottements, que devient l'énergie mécanique perdue ?

Elle se transforme principalement en chaleur (augmentation de l'énergie interne).
Elle disparaît sans trace.
Elle se transforme uniquement en énergie potentielle gravitationnelle.

La bonne réponse est 1 : la perte se transforme souvent en chaleur.

Schéma : bloc descendant une pente (démonstration)

Étape 1 : le bloc est en haut, énergie potentielle maximale (\(E_p\)).

Étape 2 : en descendant, \(E_p\) diminue et se transforme en \(E_c\).

Étape 3 : en bas, \(E_c\) est maximale (si pas de frottements, \(E_m\) constante).

Exemples résolus

Exemple 1 — Chute sans frottements (calcul de la vitesse)

Énoncé : Un bloc de masse \(m=2{,}0\ \mathrm{kg}\) est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur \(h=5{,}0\ \mathrm{m}\). Calculer sa vitesse au bas de la hauteur si on néglige les frottements.

Voir la solution

Étape 1 — Écrire la conservation de l'énergie mécanique :

\[E_{m,i}=E_{m,f}\quad\Longrightarrow\quad mgh=\dfrac{1}{2}mv^{2}\]

Étape 2 — Simplifier par la masse (non nulle) :

\[gh=\dfrac{1}{2}v^{2}\]

Étape 3 — Résoudre pour \(v\) :

\[v=\sqrt{2gh}\]

Étape 4 — Substituer les valeurs (prendre \(g=9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)) :

\[v=\sqrt{2\times 9{,}81\times 5{,}0}=\sqrt{98{,}1}\approx 9{,}9\ \mathrm{m\,s^{-1}}\]

Question — Quelle expression donne la vitesse obtenue si on néglige les frottements ?

\(v=\sqrt{gh}\)
\(v=\sqrt{\dfrac{gh}{2}}\)
\(v=\sqrt{2gh}\)

La formule est \(v=\sqrt{2gh}\), réponse 3.

Exemple 2 — Glissement avec frottements (énergie dissipée)

Énoncé : Une caisse de masse \(m=3{,}0\ \mathrm{kg}\) glisse sur une distance \(d=4{,}0\ \mathrm{m}\) sur une surface horizontale. Au départ elle a une vitesse \(v_i=5{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) et à l'arrivée \(v_f=2{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Calculer l'énergie mécanique dissipée par frottements.

Étape 1 — Calculer les énergies cinétiques initiale et finale :

\[E_{c,i}=\dfrac{1}{2}m v_i^{2}=\dfrac{1}{2}\times 3{,}0\times 5{,}0^{2}=\dfrac{1}{2}\times 3{,}0\times 25=37{,}5\ \mathrm{J}\]

\[E_{c,f}=\dfrac{1}{2}m v_f^{2}=\dfrac{1}{2}\times 3{,}0\times 2{,}0^{2}=\dfrac{1}{2}\times 3{,}0\times 4=6{,}0\ \mathrm{J}\]

Étape 2 — Sur une surface horizontale, \(E_p\) ne change pas (\(\Delta E_p=0\)), donc \(\Delta E_{m}=E_{c,f}-E_{c,i}\) :

\[\Delta E_{m}=6{,}0-37{,}5=-31{,}5\ \mathrm{J}\]

Étape 3 — Interprétation : l'énergie mécanique a diminué de \(31{,}5\ \mathrm{J}\). Cette valeur est l'énergie dissipée (transformée en chaleur) par les frottements :

Énergie dissipée = \(31{,}5\ \mathrm{J}\).

Question — Quelle est l'énergie dissipée par les frottements ?

31,5 J
6,0 J
37,5 J

La perte d'énergie mécanique est \(37{,}5-6{,}0=31{,}5\ \mathrm{J}\), réponse 1.

Erreurs fréquentes

Penser que l'énergie « disparaît » : non, elle se transforme (souvent en chaleur).
Oublier de comparer les mêmes points de référence pour les hauteurs (choisir une origine de \(h\)).
Utiliser \(E_p=mgh\) sans vérifier que \(g\) est adapté au contexte (valeur approchée au sol).

Question — Si l'on augmente la hauteur d'un objet, que se passe-t-il pour son énergie potentielle ?

Elle diminue.
Elle augmente.
Elle reste toujours la même.

L'énergie potentielle de pesanteur est proportionnelle à la hauteur, donc elle augmente (réponse 2).

Récapitulatif

Énergie mécanique : \(E_m=E_c+E_p\).
Sans forces dissipatives : \(E_{m,i}=E_{m,f}\) (conservation).
Avec frottements : \(\Delta E_m = W_{\text{nc}}\) (souvent négatif) et l'énergie dissipée devient chaleur.
Formules utiles : \(E_c=\dfrac{1}{2}mv^{2}\) et \(E_p=mgh\).

Cartes mémo

Énergie mécanique

Somme de \(E_c\) et \(E_p\) : \(E_m=E_c+E_p\)

Énergie cinétique

\(E_c=\dfrac{1}{2}mv^{2}\)

Énergie potentielle

Pour la pesanteur : \(E_p=mgh\)

Conservation

Si pas de frottements : \(E_{m,i}=E_{m,f}\)

Frottements

Dissipent de l'énergie mécanique en chaleur (\(W_{nc}<0\)).