Formule de conjugaison et grandissement : calculer la position et la taille d'une image

Avec \(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\) on trouve où se forme l'image, et avec \(g = \frac{h'}{h}\) on sait si elle est plus grande, plus petite, droite ou renversée.

Objectifs

Utiliser la formule de conjugaison \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d_o} + \dfrac{1}{d_i}\) pour calculer \(d_i\), \(d_o\) ou \(f\).
Calculer le grandissement \(g = \dfrac{h'}{h} = -\dfrac{d_i}{d_o}\) et la taille de l'image.
Interpréter les signes : image réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou réduite.

Notions clés

1. Les grandeurs et leurs signes

On note, pour un objet \(AB\) placé devant une lentille de centre optique \(O\) :

\(d_o = OA\) : distance objet-lentille, positive pour un objet réel placé devant la lentille ;
\(d_i = OA'\) : distance lentille-image ; \(d_i > 0\) : image réelle (de l'autre côté de la lentille, on peut la recueillir sur un écran) ; \(d_i < 0\) : image virtuelle (du même côté que l'objet, on la voit seulement à travers la lentille) ;
\(f\) : distance focale, \(f > 0\) pour une lentille convergente, \(f < 0\) pour une lentille divergente ;
\(h = AB\) : hauteur de l'objet, \(h' = A'B'\) : hauteur de l'image, négative si l'image est renversée.

Interprétation du grandissement \(g\) :

\(g < 0\) : image renversée ; \(g > 0\) : image droite (même sens que l'objet) ;
\(|g| > 1\) : image agrandie ; \(|g| < 1\) : image réduite ; \(|g| = 1\) : même taille.

Un calcul donne \(g = -3\). L'image est :

droite et 3 fois plus petite
renversée et 3 fois plus grande
droite et 3 fois plus grande

Le signe moins indique une image renversée, et \(|g| = 3 > 1\) une image 3 fois plus grande que l'objet.

2. Méthode de calcul

1. Écrire les données avec leur signe, toutes dans la même unité (souvent le centimètre).

2. Isoler l'inconnue : \(\dfrac{1}{d_i} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d_o}\), ou \(\dfrac{1}{d_o} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d_i}\).

3. Mettre au même dénominateur, puis prendre l'inverse.

4. Calculer \(g = -\dfrac{d_i}{d_o}\), puis \(h' = g \times h\), et conclure sur la nature de l'image.

Explore : la courbe donne \(d_i\) en fonction de \(d_o\) pour une lentille convergente de distance focale \(f\) (curseur). Quand \(d_o\) se rapproche de \(f\), l'image part très loin ; pour \(d_o < f\), \(d_i\) devient négatif (image virtuelle, effet loupe).

Avec une lentille convergente, on place l'objet exactement au foyer objet \((d_o = f)\). Que se passe-t-il ?

L'image est sur la lentille
L'image a la même taille que l'objet
Il n'y a pas d'image nette à distance finie

\(\dfrac{1}{d_i} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{f} = 0\) : aucune distance ne convient, les rayons ressortent parallèles et l'image est « rejetée à l'infini ».

Exemples résolus

Exemple 1 : image réelle sur un écran

Un objet \(AB\) de hauteur \(h = 4\ \mathrm{cm}\) est placé à \(d_o = 30\ \mathrm{cm}\) d'une lentille convergente de distance focale \(f = 10\ \mathrm{cm}\). Où placer l'écran ? Décris l'image.

Voir la solution

\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \] donc \(d_i = 15\ \mathrm{cm}\) : l'écran se place à 15 cm après la lentille.

\[ g = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{15}{30} = -0{,}5 \]

\[ h' = g \times h = -0{,}5 \times 4 = -2\ \mathrm{cm} \]

Conclusion : \(d_i > 0\), image réelle ; \(g < 0\), renversée ; \(|g| = 0{,}5\), deux fois plus petite (2 cm de haut).

Exemple 2 : la loupe (image virtuelle)

Moussa observe une lettre de hauteur \(2\ \mathrm{mm}\) avec une loupe de distance focale \(f = 5\ \mathrm{cm}\), placée à \(d_o = 3\ \mathrm{cm}\) de la lettre. Décris l'image.

Voir la solution

\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{3}{15} - \frac{5}{15} = -\frac{2}{15} \] donc \(d_i = -\dfrac{15}{2} = -7{,}5\ \mathrm{cm}\).

\[ g = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{-7{,}5}{3} = 2{,}5 \] et \(h' = 2{,}5 \times 2 = 5\ \mathrm{mm}\).

Conclusion : \(d_i < 0\), image virtuelle (du côté de la lettre, visible à travers la loupe) ; \(g > 0\), droite ; \(g = 2{,}5\), agrandie : la lettre paraît mesurer 5 mm.

Exemple 3 : trouver la distance focale

Nadia obtient une image nette sur un écran placé à \(30\ \mathrm{cm}\) d'une lentille, l'objet étant à \(20\ \mathrm{cm}\) de la lentille. Calcule \(f\) et \(g\).

Voir la solution

L'image est sur un écran : elle est réelle, \(d_i = +30\ \mathrm{cm}\) ; \(d_o = 20\ \mathrm{cm}\).

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \] donc \(f = 12\ \mathrm{cm}\) : lentille convergente.

\[ g = -\frac{30}{20} = -1{,}5 \] : image renversée, 1,5 fois plus grande.

Exemple 4 : lentille divergente

Un objet est à \(d_o = 20\ \mathrm{cm}\) d'une lentille divergente de distance focale \(f = -10\ \mathrm{cm}\). Décris l'image.

Voir la solution

\[ \frac{1}{d_i} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = -\frac{2}{20} - \frac{1}{20} = -\frac{3}{20} \] donc \(d_i = -\dfrac{20}{3} \approx -6{,}7\ \mathrm{cm}\).

\[ g = -\frac{d_i}{d_o} = \frac{20/3}{20} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \]

Image virtuelle, droite, trois fois plus petite : c'est toujours le cas avec une lentille divergente et un objet réel.

Lentille convergente, \(f = 15\ \mathrm{cm}\), objet à \(d_o = 30\ \mathrm{cm}\). Que vaut \(d_i\) ?

30 cm
15 cm
45 cm

\(\frac{1}{d_i} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}\), donc \(d_i = 30\ \mathrm{cm}\). Objet à \(2f\) : image à \(2f\), renversée, de même taille \((g = -1)\).

Erreurs fréquentes

Oublier de prendre l'inverse à la fin du calcul.
Mélanger centimètres et mètres dans une même formule.
Oublier le signe moins de \(g = -\dfrac{d_i}{d_o}\), et conclure qu'une image réelle est droite.
Donner \(f\) positive pour une lentille divergente.

Récapitulatif

\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d_o} + \dfrac{1}{d_i}\) ; \(f > 0\) convergente, \(f < 0\) divergente.
\(d_i > 0\) : image réelle (sur un écran) ; \(d_i < 0\) : image virtuelle.
\(g = \dfrac{h'}{h} = -\dfrac{d_i}{d_o}\) : signe pour le sens, valeur absolue pour la taille.

Formule de conjugaison

1/f = 1/do + 1/di, toutes les distances dans la même unité.

Grandissement

g = h'/h = -di/do.

Signe de di

Positif : image réelle, sur un écran. Négatif : image virtuelle, vue à travers la lentille.

Signe de g

Négatif : image renversée. Positif : image droite.

Valeur de |g|

Plus grand que 1 : agrandie. Plus petit que 1 : réduite.