Formule de conjugaison et grandissement : lire les signes, image réelle ou virtuelle
Formule de conjugaison et grandissement : lire les signes, image réelle ou virtuelle
Avec deux formules et une méthode en cinq étapes, on trouve où se forme l'image d'une lentille convergente, sa taille, et surtout ce que disent ses signes : réelle ou virtuelle, renversée ou droite, agrandie ou réduite.
Objectifs
- Appliquer pas à pas la formule de conjugaison \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d_o} + \dfrac{1}{d_i}\).
- Calculer le grandissement \(g = \dfrac{h'}{h}\) et l'image d'un objet de taille connue.
- Interpréter le signe de \(d_i\) et celui de \(g\) pour décrire l'image sans faire de schéma.
- Résoudre les problèmes « à l'envers » : retrouver \(f\) ou \(d_o\) à partir de l'image.
Notions clés
1. Les grandeurs et leur convention de signes
On étudie une lentille mince convergente de centre optique O et de distance focale \(f\) (positive). Un objet AB est placé devant la lentille, perpendiculaire à l'axe optique.
- \(d_o\) : distance objet–lentille, toujours positive ici (l'objet est réel, devant la lentille).
- \(d_i\) : distance lentille–image. Elle est positive si l'image se forme de l'autre côté de la lentille (image réelle, recueillie sur un écran) et négative si l'image est du même côté que l'objet (image virtuelle, vue seulement à travers la lentille).
- \(h\) : taille de l'objet, positive (objet vers le haut) ; \(h'\) : taille de l'image, positive si l'image est droite, négative si elle est renversée.
Les deux relations du chapitre :
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \qquad\qquad g = \frac{h'}{h} = -\frac{d_i}{d_o} \]| Résultat du calcul | Ce qu'il signifie |
|---|---|
| \(d_i > 0\) | image réelle, de l'autre côté de la lentille |
| \(d_i < 0\) | image virtuelle, du même côté que l'objet |
| \(g < 0\) | image renversée |
| \(g > 0\) | image droite |
| \(|g| > 1\) | image agrandie |
| \(|g| < 1\) | image réduite |
Un calcul donne \(d_i = -8\) cm. Que peut-on dire de l'image ?
2. La méthode en cinq étapes
3. Voir la méthode sur un schéma
Prenons \(f = 10\) cm, un objet de 4 cm placé à \(d_o = 30\) cm. Le calcul (exemple 1 ci-dessous) donne \(d_i = 15\) cm et \(h' = -2\) cm. Le schéma suivant, construit avec les trois rayons particuliers, retrouve exactement ce résultat (échelle horizontale : 1 cm pour 5 unités).
Rayon 1 : parallèle à l'axe, il ressort de la lentille en passant par le foyer image F'.
Rayon 2 : passant par le centre optique O, il n'est pas dévié.
Rayon 3 : passant par le foyer objet F, il ressort parallèle à l'axe.
Les trois rayons se croisent en B', à 15 cm derrière la lentille et 2 cm sous l'axe : l'image est réelle, renversée, deux fois plus petite. Le calcul et le schéma sont d'accord.
4. Observer la position de l'image quand l'objet bouge
Le graphique trace \(d_i\) en fonction de \(d_o\) (noté x, en cm) d'après \(d_i = \dfrac{f\,d_o}{d_o - f}\). Déplace le curseur de \(f\) et observe : à gauche de \(x = f\), la courbe est sous l'axe (image virtuelle) ; à droite, elle est au-dessus (image réelle) ; près de \(x = f\), l'image part très loin.
Avec \(f = 10\) cm, pour quelles distances objet obtient-on une image virtuelle ?
Exemples résolus
Exemple 1 : l'objet loin de la lentille
Exemple 2 : l'objet tout près du foyer
Cherche d'abord, puis ouvre la solution.
Voir la solution
\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30} \quad\Rightarrow\quad d_i = 30 \text{ cm} \] \[ g = -\frac{30}{15} = -2 \qquad h' = -2 \times 3 = -6 \text{ cm} \]L'image est réelle (30 cm derrière la lentille), renversée et deux fois plus grande : c'est le principe du projecteur. On place donc la diapositive à l'envers pour voir l'image à l'endroit sur l'écran.
Exemple 3 : la loupe
Voir la solution
\[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10} - \frac{2}{10} = -\frac{1}{10} \quad\Rightarrow\quad d_i = -10 \text{ cm} \] \[ g = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{-10}{5} = +2 \qquad h' = 2 \times 2 = 4 \text{ mm} \]\(d_i < 0\) : image virtuelle, du côté de la vis, à 10 cm de la lentille ; \(g > 0\) : droite ; \(|g| = 2\) : deux fois plus grande. On la voit à travers la loupe, on ne peut pas la projeter sur un écran.
Exemple 4 : le problème à l'envers
Avec \(f = 10\) cm, on place l'objet à \(d_o = 20\) cm. Que vaut le grandissement ?
Erreurs fréquentes
Autre piège : oublier le signe moins dans \(g = -\dfrac{d_i}{d_o}\). Sans lui, une image réelle paraîtrait droite, ce qui est impossible avec une seule lentille convergente.
Récapitulatif
- \(\dfrac{1}{d_i} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d_o}\), puis on inverse.
- \(g = \dfrac{h'}{h} = -\dfrac{d_i}{d_o}\) et \(h' = g \times h\).
- \(d_i > 0\) : image réelle ; \(d_i < 0\) : image virtuelle.
- \(g < 0\) : renversée ; \(g > 0\) : droite ; \(|g|\) compare les tailles.
- Vergence : \(C = \dfrac{1}{f}\) avec \(f\) en mètres, en dioptries (δ).
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