Fractions et Nombres Rationnels

Introduction

Une fraction est un nombre qui représente une partie d’un tout. Elle s’écrit sous la forme \(rac{a}{b}\), où \(a\) est le numérateur et \(b\) le dénominateur. Les fractions peuvent être additionnées, soustraites, multipliées, et simplifiées.

Addition de fractions

Pour additionner deux fractions, il faut que leurs dénominateurs soient identiques. Sinon, il faut d’abord les mettre sur un même dénominateur.

Cas 1 : mêmes dénominateurs

Exemple : \(rac{2}{7} + rac{3}{7} = rac{2+3}{7} = rac{5}{7}\)

Cas 2 : dénominateurs différents

Exemple : \(rac{1}{3} + rac{2}{5}\)

On calcule le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) des dénominateurs 3 et 5, qui est 15. On transforme chaque fraction :

• \(rac{1}{3} = rac{5}{15}\)
• \(rac{2}{5} = rac{6}{15}\)

Ensuite, on additionne :

\[rac{5}{15} + rac{6}{15} = rac{5+6}{15} = rac{11}{15}\]

Soustraction de fractions

Le procédé est similaire à l’addition :

Exemple : \(rac{4}{9} - rac{2}{3}\)

Le PPCM de 9 et 3 est 9. On transforme :

• \(rac{4}{9}\) (inchangé)
• \(rac{2}{3} = rac{6}{9}\)

On effectue la soustraction :

\[rac{4}{9} - rac{6}{9} = rac{4-6}{9} = -rac{2}{9}\]

Multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

Exemple : \(rac{2}{3} imes rac{4}{5} = rac{2 imes 4}{3 imes 5} = rac{8}{15}\)

Simplification d'une fraction

Une fraction peut être simplifiée en divisant numerator et denominator par leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur).

Exemple : simplifier \(rac{6}{8}\)

• PGCD de 6 et 8 est 2
• Division du numérateur et du dénominateur par 2 :
• \(rac{6 \div 2}{8 \div 2} = rac{3}{4}\)

Donc, \(rac{6}{8} = rac{3}{4}\).

Conclusion

Les opérations sur les fractions permettent de manipuler ces nombres pour résoudre diverses situations. La simplification facilite la lecture et la comparaison des fractions. La maîtrise de ces opérations est essentielle en mathématiques.