Fractions et nombres rationnels : Addition, soustraction, multiplication et simplification

1. Introduction aux fractions

Une fraction est un nombre représenté sous la forme \(\dfrac{a}{b}\), où a est le numérateur et b est le dénominateur (b ≠ 0).

2. Addition et soustraction de fractions

2.1. Cas avec mêmes dénominateurs

Pour additionner ou soustraire des fractions ayant le même dénominateur :

\[\dfrac{a}{d} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \pm c}{d}\]

Exemple :

\[\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2+1}{5} = \dfrac{3}{5}\]

2.2. Cas avec dénominateurs différents

Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents :

1. Trouver un dénominateur commun (le plus petit commun multiple, PPCM).
2. Représenter chaque fraction avec ce dénominateur.
3. Effectuer l’addition ou la soustraction.

Formule générale :

\[\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a 	imes d \pm c 	imes b}{b 	imes d}\]

Exemple :

\[\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{1 	imes 5 + 2 	imes 3}{3 	imes 5} = \dfrac{5 + 6}{15} = \dfrac{11}{15}\]

3. Multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions :

\[\dfrac{a}{b} 	imes \dfrac{c}{d} = \dfrac{a 	imes c}{b 	imes d}\]

Exemple :

\[\dfrac{2}{3} 	imes \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 	imes 4}{3 	imes 5} = \dfrac{8}{15}\]

4. Simplification des fractions

Pour simplifier une fraction :

• Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur.
• Diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD.

Exemple :

\[\dfrac{8}{12} 
ightarrow 	ext{PGCD}(8,12)=4\]

\[ \dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = \dfrac{2}{3}\]

Résumé

• Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d’abord les mettre au même dénominateur.
• Pour multiplier, il suffit de multiplier les numérateurs et les dénominateurs.
• Pour simplifier, il faut diviser par le PGCD.