Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle, c'est un polynôme divisé par un autre polynôme : on la manipule comme une fraction ordinaire, avec une seule règle d'or, ne jamais diviser par zéro.

Objectifs

Reconnaître une fraction rationnelle et trouver ses valeurs interdites (son ensemble de définition).
Simplifier une fraction rationnelle en factorisant.
Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions rationnelles.
Résoudre une équation « quotient nul » et une inéquation avec un tableau de signes.

1. Définition et valeurs interdites

Définition

Une fraction rationnelle est une expression de la forme \[ F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \] où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes, avec \(Q\) non nul.

Les nombres qui annulent le dénominateur \(Q(x)\) sont les valeurs interdites.
L'ensemble de définition \(D_F\) est l'ensemble des réels qui ne sont pas des valeurs interdites.

Exemple résolu

Trouver l'ensemble de définition de \(F(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 4}\).

On cherche quand le dénominateur s'annule : \(x^2 - 4 = 0\).

On factorise avec l'identité \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) : \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\).

Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : \(x = 2\) ou \(x = -2\).

Conclusion : les valeurs interdites sont \(-2\) et \(2\), donc \(D_F = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}\).

Quelle est la valeur interdite de \(F(x) = \dfrac{x + 5}{2x - 6}\) ?

\(-5\)
\(6\)
\(3\)
\(-3\)

\(2x - 6 = 0 \iff x = 3\). Le numérateur, lui, peut s'annuler sans problème.

2. Simplifier une fraction rationnelle

Si \(P(x) = A(x) \times C(x)\) et \(Q(x) = B(x) \times C(x)\), alors pour tout \(x\) de \(D_F\) : \[ \frac{A(x)\,C(x)}{B(x)\,C(x)} = \frac{A(x)}{B(x)} \] Les valeurs interdites restent celles de la fraction de départ.

Exemple résolu

Simplifier \(F(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}\). Cherche d'abord !

Voir la solution

Numérateur : \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). Dénominateur : \(x^2 + 3x = x(x + 3)\).

Valeurs interdites : \(x(x + 3) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = -3\).

Pour \(x \neq 0\) et \(x \neq -3\) : \[ F(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \frac{x - 3}{x} \]

Pour \(x \neq 1\), à quoi est égal \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) ?

\(x - 1\)
\(x + 1\)
\(x\)
\(x^2\)

\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\) ; on barre le facteur \(x - 1\) et il reste \(x + 1\).

3. Opérations sur les fractions rationnelles

Pour \(x\) dans l'ensemble de définition de toutes les fractions :

\[ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD + BC}{BD} \qquad \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \qquad \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} \]

Pour une division, il faut aussi \(C(x) \neq 0\).

Exemple résolu : une somme

Écrire en une seule fraction \(F(x) = \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x + 1}\).

Valeurs interdites : \(x = 1\) et \(x = -1\).

Dénominateur commun : \((x - 1)(x + 1)\).

\(F(x) = \dfrac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x + 1 + 2x - 2}{(x - 1)(x + 1)}\).

On réduit le numérateur : \(F(x) = \dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}\), pour \(x \neq 1\) et \(x \neq -1\).

Exemple résolu : un produit

Simplifier \(G(x) = \dfrac{x}{x + 1} \times \dfrac{x + 1}{x - 2}\).

Voir la solution

Valeurs interdites : \(-1\) et \(2\). On multiplie puis on barre le facteur commun \(x + 1\) : \[ G(x) = \frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{x}{x - 2} \quad \text{pour } x \neq -1 \text{ et } x \neq 2. \]

Quel est le résultat de \(\dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x}\) (pour \(x \neq 0\)) ?

\(\dfrac{2}{x}\)
\(\dfrac{2}{0}\)
\(\dfrac{3}{x^2}\)

Même dénominateur : on soustrait seulement les numérateurs, \(3 - 1 = 2\), et on garde \(x\).

4. Équations avec une fraction rationnelle

Exemple résolu

Résoudre \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 0\). Cherche d'abord, attention au piège !

Voir la solution

Valeur interdite : \(x = 1\).

Numérateur nul : \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0 \iff x = 1\) ou \(x = -1\).

Mais \(1\) est interdite, on la rejette. Donc \(S = \{-1\}\).

Exemple résolu : se ramener à un quotient nul

Résoudre \(\dfrac{2}{x - 1} = 3\).

Valeur interdite : \(x = 1\).

On multiplie les deux membres par \(x - 1\) (non nul) : \(2 = 3(x - 1)\), donc \(2 = 3x - 3\).

\(3x = 5\), d'où \(x = \dfrac{5}{3}\).

\(\dfrac{5}{3} \neq 1\) : la solution est acceptée, \(S = \left\{\dfrac{5}{3}\right\}\). Vérification : \(\dfrac{5}{3} - 1 = \dfrac{2}{3}\) et \(2 \div \dfrac{2}{3} = 3\).

Quelles sont les solutions de \(\dfrac{x - 3}{x + 2} = 0\) ?

\(-2\)
\(-2\) et \(3\)
\(3\)
Aucune

Le numérateur s'annule en \(x = 3\), qui n'est pas interdite ; \(-2\) est la valeur interdite, pas une solution.

5. Signe d'une fraction rationnelle et inéquations

flowchart LR
A[Valeurs interdites] --> B[Factoriser numérateur et dénominateur]
B --> C[Signe de chaque facteur]
C --> D[Tableau de signes]
D --> E[Lire les solutions]

Exemple résolu

Résoudre \(\dfrac{x - 3}{x + 2} \geq 0\).

Valeur interdite : \(x = -2\). Le numérateur s'annule en \(x = 3\).

\(x - 3\) est négatif avant 3 et positif après ; \(x + 2\) est négatif avant \(-2\) et positif après.

Tableau de signes :

\(x\)	\(]-\infty\,;\,-2[\)	\(]-2\,;\,3[\)	\(]3\,;\,+\infty[\)
\(x - 3\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(x + 2\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
quotient	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Le quotient vaut 0 en \(x = 3\) et n'existe pas en \(x = -2\).

On garde les zones « + » et la valeur \(3\) (car \(\geq\)), mais jamais \(-2\) : \(S = ]-\infty\,;\,-2[ \,\cup\, [3\,;\,+\infty[\).

Vérifie sur le graphique : avec \(a = -3\) et \(b = -2\), la courbe de \(y = \dfrac{x + a}{x - b}\) est exactement \(y = \dfrac{x - 3}{x + 2}\). Elle est au-dessus de l'axe des abscisses avant \(-2\) et après \(3\). Bouge ensuite les curseurs : la courbe « saute » toujours à la valeur interdite \(x = b\).

Sur quel intervalle \(\dfrac{x - 3}{x + 2}\) est-il strictement négatif ?

\(]-\infty\,;\,-2[\)
\(]-2\,;\,3[\)
\([-2\,;\,3]\)
\(]3\,;\,+\infty[\)

D'après le tableau, le quotient est négatif entre \(-2\) et \(3\), bornes exclues (\(-2\) interdite, et en 3 il vaut 0).

Erreurs fréquentes

Chercher les valeurs interdites dans le numérateur.
Simplifier des termes au lieu de facteurs : \(\frac{x + 2}{x + 5} \neq \frac{2}{5}\).
Oublier de rejeter une solution qui est une valeur interdite.
Additionner numérateurs et dénominateurs : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{2} \neq \frac{2}{x + 2}\).
Fermer le crochet sur une valeur interdite dans une inéquation.

Récapitulatif

Cartes mémo

Fraction rationnelle

Quotient P(x) / Q(x) de deux polynômes, Q non nul.

Valeur interdite

Nombre qui annule le dénominateur : la fraction n'y est pas définie.

Simplifier

Factoriser, puis barrer un facteur commun ; les valeurs interdites de départ restent.

Quotient nul

P/Q = 0 si et seulement si P = 0 et Q différent de 0.

Signe d'un quotient

Même règle des signes que pour un produit ; on utilise un tableau de signes.