Fréquence et modélisation d'expériences aléatoires

Quand on répète une expérience au hasard un grand nombre de fois, la fréquence d'un résultat se stabilise autour d'une valeur : sa probabilité, que l'on peut souvent calculer à l'avance avec un modèle.

Objectifs

Reconnaître une expérience aléatoire, ses issues et ses événements.
Calculer une fréquence et observer sa stabilisation quand le nombre d'essais augmente.
Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité.
Utiliser l'événement contraire et un arbre pour une expérience à deux épreuves.

1. Expérience aléatoire, issues, événements

Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, connus d'avance, mais on ne peut pas prévoir lequel se produira.
Chaque résultat possible est une issue. Pour un dé à six faces : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Un événement est un ensemble d'issues, par exemple « obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6}.

Laquelle de ces expériences n'est PAS aléatoire ?

Lancer une pièce de monnaie
Tirer une bille dans un sac sans regarder
Mesurer la longueur de ta table avec une règle

Mesurer une table donne toujours le même résultat (aux erreurs de mesure près) : ce n'est pas le hasard qui décide.

2. La fréquence et sa stabilisation

Exemple. Awa lance un dé et compte les « 6 ». Voici un exemple de résultats qu'elle peut obtenir.

Nombre de lancers	Nombre de 6	Fréquence
50	11	0,22
100	15	0,15
500	86	0,172
1 000	168	0,168

À toi. Moussa lance 200 fois une punaise : elle retombe 124 fois pointe en l'air. Calcule la fréquence de « pointe en l'air ». Peut-on calculer la probabilité exacte à l'avance ? Cherche d'abord.

Voir la solution

\[f = \frac{124}{200} = 0{,}62\]

Les deux positions de la punaise ne sont pas aussi probables l'une que l'autre (sa forme n'est pas symétrique) : on ne peut pas calculer la probabilité par un raisonnement simple. On l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais : environ 0,62.

Sur 120 élèves interrogés au hasard, 30 viennent à l'école à vélo. Quelle est la fréquence des élèves à vélo ?

0,30
0,25
4

\(f = \dfrac{30}{120} = 0{,}25\), soit 25 %. Une fréquence est toujours entre 0 et 1.

3. Modéliser : la probabilité

Exemple résolu. Dans le sac de Kofi, on tire une bille au hasard. Calcule la probabilité de tirer une bille rouge, puis une bille qui n'est pas rouge.

Il y a \(3 + 5 + 2 = 10\) billes, toutes ont la même chance d'être tirées : il y a équiprobabilité.

3 billes sont rouges : \(P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\).

L'événement « non rouge » est le contraire de « rouge » : \(P(\text{non rouge}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\).

Vérification : il y a \(5 + 2 = 7\) billes non rouges, et \(\dfrac{7}{10} = 0{,}7\).

À la tombola, il y a 200 tickets dont 10 gagnants. Aïcha achète un ticket. Quelle est la probabilité qu'il soit gagnant ?

0,05
0,10
0,95

\(P = \dfrac{10}{200} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\). La probabilité de perdre est \(1 - 0{,}05 = 0{,}95\).

Supposons que la probabilité qu'il pleuve demain à Abidjan soit 0,35. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?

0,35
1,35
0,65

C'est l'événement contraire : \(1 - 0{,}35 = 0{,}65\).

4. Expériences à deux épreuves : l'arbre

Premier lancer : deux branches, pile (P) ou face (F).

Second lancer : de chaque résultat partent à nouveau deux branches, P ou F.

On lit chaque chemin : 4 issues PP, PF, FP et FF, toutes équiprobables pour une pièce équilibrée.

À toi. Avec deux lancers, quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois face ? Cherche d'abord.

Voir la solution

Les issues favorables sont PF et FP : 2 issues sur 4.

\[P(\text{exactement une fois face}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

On lance deux fois la pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois pile ?

\(\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{1}{2}\)

Issues favorables : PP, PF, FP, soit 3 sur 4. On peut aussi passer par le contraire : \(1 - P(\text{FF}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).

Récapitulatif

Expérience aléatoire : résultats possibles connus, résultat imprévisible ; issue = un résultat ; événement = ensemble d'issues.
Fréquence \(f = \dfrac{k}{n}\) ; sur un grand nombre d'essais, elle se stabilise autour de la probabilité.
Équiprobabilité : \(P(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}\), entre 0 et 1.
Événement contraire : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). Deux épreuves : arbre des possibles.

Expérience aléatoire

On connaît les résultats possibles mais on ne peut pas prévoir lequel sortira.

Fréquence

Nombre de fois où le résultat apparaît divisé par le nombre d'essais.

Stabilisation

Sur beaucoup d'essais, la fréquence se rapproche de la probabilité.

Probabilité en équiprobabilité

Issues favorables divisées par issues possibles.

Événement contraire

P(non A) = 1 − P(A).