Généralités sur les fonctions : Image et antécédent

1. Définitions principales

Une fonction \(f\) associe à chaque élément \(x\) d’un ensemble \(E\) un élément \(f(x)\) dans un ensemble \(F\).

L’ensemble \(E\) est le dopant ou ensemble de départ, et l’ensemble \(F\) est le codomaine.

Pour un sous-ensemble \(A \subseteq E\), l’image de \(A\) par \(f\), notée \(f(A)\), est l’ensemble des images des éléments de \(A\) :

\(f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}\)

Exemple : si \(f(x) = x^2\) et \(A = [-2, 1]\), alors \(f(A) = [0, 1]\).

Pour un élément \(y \in F\), l’antécédent de \(y\) par \(f\), s’il existe, est l’(les) élément(s) \(x \in E\) tel(s) que :

\(f(x) = y\)

En cas d’unicité, l’antécédent est unique. Sinon, il y a plusieurs antécédents ou aucun.

Exemple : si \(f(x) = 2x + 3\), l’antécédent de \(y = 7\) est \(x = 2\) car \(f(2)=7\).

L’image \(f(A)\) est l’ensemble des valeurs que peut prendre la fonction sur un sous-ensemble \(A\).
L’antécédent de \(y\) est le ou les \(x\) tels que \(f(x) = y\).