Comprendre l'image et l'antécédent, c'est savoir comment une fonction associe chaque valeur d'entrée à une (ou plusieurs) valeur(s) de sortie.

Image et antécédent — notions essentielles

Niveau : 2nde • Thème : Généralités sur les fonctions

Objectifs

Savoir définir l'image et l'antécédent d'une valeur par une fonction.
Calculer des images et résoudre des équations pour trouver des antécédents.
Comprendre qu'un élément peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Notions clés

Définitions

L'image de \(x\in D\) par \(f\) est la valeur \(f(x)\). On écrit : "l'image de \(x\) est \(f(x)\)".
Si \(y\) est un réel, un antécédent de \(y\) par \(f\) est tout \(x\in D\) tel que \(f(x)=y\).

Notation fréquente : \(f: D \to \mathbb{R},\quad x \mapsto f(x)\).

Remarques importantes

Une valeur \(y\) peut n'avoir aucun antécédent, un seul, ou plusieurs. Exemple : la fonction carrée \(x\mapsto x^2\) donne \(2\) comme image de \(\sqrt{2}\) et de \(-\sqrt{2}\).
La notion d'antécédent revient à résoudre l'équation \(f(x)=y\).

Quel énoncé est correct ?

Si \(f(2)=5\), alors 2 est un antécédent de 5.
Si \(f(2)=5\), alors 5 est l'image de 2.
Si \(f(x)=5\), alors \(x=2\).

La bonne réponse est la 2 : par définition, l'image de 2 est \(f(2)=5\). La 1 est une formulation correcte aussi, mais la consigne attend l'énoncé précis sur l'image (ici 2 est aussi antécédent de 5). La 3 est fausse car l'équation peut avoir plusieurs solutions ou aucune.

Exemples résolus

Exemple 1 — fonction affine

Soit \(f\) définie par \(f(x)=2x+1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

But A : calculer l'image de \(3\).

Étape 1 : remplacer \(x\) par \(3\) dans la formule :

Étape 2 : \(f(3)=2\times 3+1\).

Étape 3 : calcul final \(f(3)=6+1=7\). Donc l'image de 3 est 7.

But B : trouver l'antécédent de \(5\) par \(f\).

Étape 1 : résoudre \(f(x)=5\) soit \(2x+1=5\).

Étape 2 : \begin{align}\;2x+1&=5\\2x&=4\\x&=2\end{align}

Conclusion : l'antécédent de 5 est \(2\).

Voir la solution complète

Image : \(f(3)=7\). Antécédent : résoudre \(2x+1=5\) qui donne \(x=2\).

Exemple 2 — fonction carrée

Soit \(g(x)=x^2\).

Cherchez les antécédents de \(9\) par \(g\).

Voir la solution

Résoudre \(x^2=9\) donne \begin{align}x&=\pm 3\end{align}. Les antécédents sont \(3\) et \(-3\).

Graphique interactif : déplacez les curseurs a et b pour voir l'effet sur la droite (ici prérempli pour \(2x+1\)).

Pour \(g(x)=x^2\), combien d'antécédents peut avoir un nombre positif strictement ?

Deux (en général).
Toujours un seul.
Jamais.

Un nombre positif non nul a généralement deux antécédents \(\pm\sqrt{y}\) par la fonction carrée.

Erreurs fréquentes

Oublier que l'équation peut n'avoir aucune solution (ex : \(x^2=-1\) sur \(\mathbb{R}\)).
Penser qu'une fonction a forcément un antécédent pour chaque valeur (ce n'est vrai que pour les fonctions surjectives sur leur ensemble d'arrivée).

Si \(h(x)=x^2+1\), quel est l'antécédent de 0 par \(h\) ?

0
1
Il n'existe pas sur \(\mathbb{R}\)

On résout \(x^2+1=0\) ; sur \(\mathbb{R}\) il n'y a pas de solution, donc il n'existe pas d'antécédent.

Schéma : comment une fonction associe valeurs

Schéma simple montrant l'association d'un \(x\) à son image \(f(x)\).

Le schéma montre : une valeur d'entrée \(x\) passe dans la règle \(f\) et donne l'image \(f(x)\).

Récapitulatif

L'image de \(x\) est \(f(x)\).
Un antécédent de \(y\) est une solution de \(f(x)=y\).
Une valeur peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
Pour trouver une image : remplacer \(x\) dans l'expression. Pour trouver un antécédent : résoudre l'équation.

Image

Valeur \(f(x)\) obtenue à partir de \(x\).

Antécédent

Un \(x\) tel que \(f(x)=y\) (solution de l'équation).

Notations

\(f: D \to \mathbb{R},\; x \mapsto f(x)\).

Remarque

Une même image peut correspondre à plusieurs antécédents (ex : \(x^2\)).