Généralités sur les fonctions : le sens de variation

Introduction

Une fonction permet d'associer à chaque valeur d'une variable un unique résultat. Comprendre son sens de variation permet d'analyser comment la fonction évolue.

Le sens de variation d'une fonction

Le sens de variation indique si une fonction croît ou décroît sur un intervalle :

• Fonction croissante : La fonction \( extbf{augmente}\) lorsque la variable augmente, c'est-à-dire que pour \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) \leq f(x_2)\).
• Fonction décroissante : La fonction \( extbf{diminue}\) lorsque la variable augmente, c'est-à-dire que pour \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) \geq f(x_2)\).

Comment déterminer le sens de variation ?

Il faut étudier la dérivée de la fonction \(f'(x)\) :

• Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est \( extbf{croissante}\) sur cet intervalle.
• Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est \( extbf{decroissante}\) sur cet intervalle.

Résumé

Le sens de variation s'étudie en analysant la dérivée :

• \(f'(x) > 0 \Rightarrow f ext{ est croissante}\)
• \(f'(x) < 0 \Rightarrow f ext{ est décroissante}\)

Conclusion

Connaître le sens de variation d'une fonction permet d'identifier ses maxima, minima ou points d'inflexion, essentiels en analyse mathématique.