Sens de variation des fonctions

Le sens de variation d'une fonction indique si elle augmente ou diminue selon la valeur de l'variable.

Objectifs

• Comprendre comment déterminer si une fonction est croissante ou décroissante dans un intervalle.
• Savoir utiliser la dérivée pour analyser le sens de variation d'une fonction.
• Interpréter graphiquement le sens de variation sur le graphique d'une fonction.

Notions clés

Fonction croissante

Une fonction est dite croissante sur un intervalle si, pour tous x et y dans cet intervalle, lorsque x < y, alors f(x) ≤ f(y).

Fonction décroissante

Une fonction est décroissante sur un intervalle si, pour tous x et y dedans, lorsque x < y, alors f(x) ≥ f(y).

Dérivée

La dérivée de f, notée \(f'(x)\), indique la pente de la tangente à la courbe en un point. Elle permet d'analyser le sens de variation.

Analyse du sens de variation à l'aide de la dérivée

Étapes pour analyser le sens de variation

1. Calculer la dérivée \(f'(x)\).
2. Résoudre l'inéquation \(f'(x) > 0\) pour déterminer où la fonction est croissante.
3. Résoudre l'inéquation \(f'(x) < 0\) pour la décroissance.
4. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur l'intervalle en utilisant un tableau de signes.

Exemple résolu

Fonction

Considérons la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

Calcul de la dérivée

flowchart LR
A[Calcul de \(f'(x)\)]
A1[\(f'(x) = 3x^2 - 3\)]
B[Résolution de \(f'(x) > 0\)]
B1[\(3x^2 - 3 > 0\)]
B2[\(x^2 > 1\)]
B3[\(x > 1\) ou \(x < -1\)]
C[Conclusion]
C1[La fonction est croissante pour \(x > 1\) ou \(x < -1\)]
C2[Décroissante pour \(-1 < x < 1\)]

A --> A1 --> B
B --> B1 --> B2
B2 --> B3
B --> C
C --> C1
C --> C2

Signe de \(f'(x)\)

Erreurs fréquentes

Résumé

• Le sens de variation d'une fonction se déduit en étudiant le signe de sa dérivée.
• Si \(f'(x) > 0\), f est croissante ; si \(f'(x) < 0\), f est décroissante.
• Le graphique permet aussi de voir où la courbe monte ou descend.

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