Généralités sur les fonctions : Le sens de variation

Introduction

La notion de sens de variation d'une fonction permet de connaître comment la valeur de cette fonction évolue lorsque l'on fait varier son argument.

Fonction croissante

Une fonction f est dite croissante sur un intervalle si, pour tous x et y dans cet intervalle, avec x < y, on a :

f(x) ≤ f(y) (croissance faible), ou
f(x) < f(y) (croissance strictement)

En résumé :
Si x

Fonction décroissante

Une fonction f est dite décroissante sur un intervalle si, pour tous x et y dans cet intervalle, avec x < y, on a :

f(x) ≥ f(y) (décroissance faible), ou

f(x) > f(y) (décroissance stricte)

En résumé :
Si x

Étude du sens de variation

Pour déterminer le sens de variation d'une fonction, on peut :

Calculer sa dérivée f' (si elle existe) ;

Étudier le signe de cette dérivée :

f' > 0 sur un intervalle → la fonction est croissante sur cet intervalle ;

f' < 0 sur un intervalle → la fonction est décroissante sur cet intervalle.

Exemple : si f'(x) > 0 pour x dans [a, b], alors f est croissante sur [a, b].

Conclusion

Connaître le sens de variation d'une fonction aide à comprendre son graphique et son comportement. Cela permet également d'identifier ses maximums, minimums et points d'inflexion.