1. Introduction

Une fonction permet de relier chaque valeur d'une variable à une autre. Le sens de variation d'une fonction indique si la fonction augmente ou diminue lorsque la variable indépendante change.

2. La notion de sens de variation

On dit qu'une fonction \(f\) :

• est croissante sur un intervalle si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi.
• est décroissante sur un intervalle si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue.

Formellement :

pour tout \(x_1, x_2\) dans l'intervalle :

• si \(x_1 < x_2\) et \(f(x_1) \leq f(x_2)\), alors \(f\) est croissante.
• si \(x_1 < x_2\) et \(f(x_1) \geq f(x_2)\), alors \(f\) est décroissante.

3. Détermination du sens de variation

Pour analyser le sens de variation d'une fonction, on peut utiliser sa dérivée \(f'\) :

• si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x\) dans un intervalle, alors \(f\) est croissante sur cet intervalle.
• si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x\), alors \(f\) est décroissante sur cet intervalle.

Remarque importante : si \(f'\) change de signe, cela indique un maximum ou un minimum local.

4. Exemple

Considérons la fonction \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).

Calculons sa dérivée :

\[ f'(x) = 2x - 4 \]

On résout \(f'(x) = 0\) :

\[ 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \]

Le signe de \(f'(x)\) :

• pour \(x < 2\), \(f'(x) < 0\) → la fonction est décroissante.
• pour \(x > 2\), \(f'(x) > 0\) → la fonction est croissante.

La fonction diminue jusqu'à \(x=2\) puis augmente après, ce qui indique un minimum en ce point.