Géométrie et transformations : Composition d'applications du plan

Introduction

En géométrie, une application du plan est une règle qui associe à chaque point un point du plan. Lorsque l'on compose deux applications, on applique successivement ces deux règles.

Définition : Composition d'applications

Soient deux applications du plan, f et g. La composition notée g ∘ f (g composé avec f) est définie par :

g ∘ f : P ↦ g(f(P))

Cela signifie qu'on applique d'abord f puis g.

Propriétés importantes

• Associativité : La composition est associative, c'est-à-dire que pour trois applications f, g, h, on a :
  \[ (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) \]
• Neutre : Il existe une application identité Id telle que : \[ Id(P) = P \] et pour toute application f, on a :
  \[ f \circ Id = Id \circ f = f \]

Exemples

Supposons :

• f(P) = 2P (une dilation du centre l'origine avec un facteur 2)
• g(P) = P + (1, 3) (translation)

La composition g ∘ f appliquée à un point P est :

g(f(P)) = g(2P) = 2P + (1, 3)

Conclusion

Comprendre la composition d'applications permet d'analyser des transformations complexes en les décomposant en transformations simples successives.