Introduction

En géométrie, une application du plan est une règle qui associe à chaque point d'un point un autre point du plan. La composition de deux applications consiste à appliquer successivement deux transformations.

Les applications usuelles

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• Translation : déplace tous les points d’un plan selon un vecteur.\n

  \nT_{(a,b)}(x, y) = (x + a, y + b)\,\text{, où } (a, b) \text{ sont des constantes.}\n

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• Symétrie : réflexion par rapport à une droite.\n

  \n\sigma_{d}(x, y) =\text{ miroir du point } (x, y) \text{ par rapport à la droite } d.\n

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• Rotation : faire tourner le plan autour d’un point.\n

  \nR_{O, \theta}(x, y) =\text{ rotation d’un angle } \theta \text{ autour du point } O.\n

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La composition d’applications

La composition de deux applications \(f\) et \(g\), notée \(g \circ f\), est définie par :

\n(g \circ f)(x, y) = g(f(x, y))\n

Cela signifie que l’on applique d’abord \(f\), puis \(g\) au résultat.

Exemple :

Soit \(f\) une translation \(T_{(3, 0)}\) et \(g\) une rotation \(R_{O, 90°}\) autour du point \(O\) (0,0).

La composition \(g \circ f\) correspond à appliquer la translation d’abord, puis la rotation.

Matériellement :

\n(x, y) \xrightarrow{f} (x + 3, y)\xrightarrow{g} \text{rotation de } 90^\circ \text{ du point } (x+3, y).\n

La formule de la rotation d’un point \((X, Y)\) autour de l’origine est :

\nR_{O, 90^\circ}(X, Y) = (-Y, X)\n

Donc :

\n(x, y) \xrightarrow{f} (x + 3, y) \xrightarrow{g} (-y, x + 3)\n

La composition donne la transformation :

\n(x, y) \mapsto (-y, x + 3)\n