Géométrie et transformations : Milieu d’un segment et propriétés vectorielles

1. Le milieu d’un segment

Dans un plan, le milieu d’un segment est le point qui divise ce segment en deux parties égales. Si on note le segment AB, le point M est son milieu si :

• AM = MB

En coordonnées cartésiennes, si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), alors le milieu M a pour coordonnées :

 
  x_M = rac{x_A + x_B}{2}
  y_M = rac{y_A + y_B}{2}

2. Propriétés vectorielles

2.1. Définition

Un vecteur est une entité géométrique qui possède une direction, un sens et une norme (longueur). On le note souvent avec une flèche, comme →AB.

2.2. Calcul du vecteur

Si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) , alors :

→AB = (xB - xA, yB - yA)

2.3. Propriétés importantes

• Le vecteur →AB peut aussi être écrit comme →AB = B - A.
• Le vecteur →AB est parallèle à →CD si et seulement si →AB = k × →CD, avec k un réel positif ou négatif.
• Pour une translation, un vecteur est conservé.

3. Applications

• Calculer le milieu d’un segment à partir de ses points.
• Vérifier si deux vecteurs sont parallèles.
• Décrire des transformations par vecteurs (translation).