Géométrie et transformations : Milieu d’un segment et propriétés vectorielles

Introduction

Ce cours présente la notion de milieu d’un segment en géométrie et explore les propriétés vectorielles liées. Ces notions permettent de comprendre et de résoudre de nombreux problèmes en géométrie plane.

1. Le milieu d’un segment

Définition

Le milieu d’un segment est le point qui se trouve exactement à égale distance des deux extrémités. Si on considère un segment [AB], le milieu M vérifie :

• \( AM = MB \)
• et M appartient à la droite (AB).

Propriété

Les coordonnées du milieu M d’un segment [AB], si A a pour coordonnées \( (x_A, y_A) \) et B pour \( (x_B, y_B) \), sont :

\( M \left( rac{x_A + x_B}{2}, rac{y_A + y_B}{2} ight) \)

2. Propriétés vectorielles

Vocabulaire

• Un vector est une grandeur mathématique qui possède une direction, un sens et une amplitude.
• On note un vecteur \(ec{AB}\) du point A au point B.

Calcul du vecteur

Les coordonnées du vecteur \(ec{AB}\), si A est \( (x_A, y_A) \) et B est \( (x_B, y_B) \), sont :

\( ec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \)

Propriétés importantes

• Le vecteur \(ec{AB}\) est nul si A = B.
• Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même ou l’opposée direction.
• Le milieu M du segment [AB] peut aussi s’écrire en vecteurs :

\( ec{AM} = rac{1}{2} \, ec{AB} \)

3. Application

Pour trouver le milieu M de [AB] à partir de A et B :

• Calculer \( x_M = rac{x_A + x_B}{2} \)
• Calculer \( y_M = rac{y_A + y_B}{2} \)

Pour vectoriser :

• Le vecteur \(ec{AM}\) est la moitié du vecteur \(ec{AB}\).

Conclusion

Le milieu d’un segment et les propriétés vectorielles sont essentiels pour étudier la géométrie dans le plan. Leur maîtrise permet de résoudre de nombreux exercices plus complexes en géométrie.