Géométrie et transformations

Transformations géométriques

Les transformations géométriques sont des opérations qui modifient la position, la taille ou la forme d'une figure tout en conservant certaines propriétés. Voici les principales :

1. La translation

Une translation déplace une figure d'un vecteur fixée par \(ec{v}\).
Les points de la figure se déplacent tous de la même manière.

Exemple : Si on translationne un point \(A\) par le vecteur \(ec{v}=(x, y)\), alors son image \(A'\) aura pour coordonnées \((x_A + x,\ y_A + y)\).

2. La rotation

Une rotation tourne une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation, d'un angle donné \( heta\).

Exemple : La rotation d'un point \(A\) de centre \(O\) et d'angle \( heta\) modélise une rotation dans le plan. La figure tourne d'un angle \( heta\) autour de \(O\).

3. La symétrie

La symétrie par rapport à une droite (symétrie axiale) ou à un point (symétrie centrale) produit une image mirrorée de la figure.

- Symétrie par rapport à une droite : chaque point et son image sowt alignés perpendiculairement à la droite.

- Symétrie centrale : chaque point et son image sont situés de part et d'autre d'un centre de symétrie, à la même distance.

4. L'homothétie

L'homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure par rapport à un point appelé centre d'homothétie, avec un rapport \(k\).

- Si \(k > 1\), la figure est agrandie.

- Si \(0 < k < 1\), la figure est réduite.

Les points se déplacent selon la formule :
Si \(A\) est un point de coordonnées \((x, y)\), alors son image \(A'\) a pour coordonnées :

\[ \quad x' = x_c + k(x - x_c), \quad y' = y_c + k(y - y_c) \]

où \((x_c,y_c)\) sont les coordonnées du centre d'homothétie.

Résumé

• Les transformations conservent ou modifient la forme et la taille des figures.
• Les principales sont : translation, rotation, symétrie et homothétie.
• Elles permettent de transformer des figures tout en respectant certaines propriétés géométriques.