Introduction

En géométrie, les vecteurs sont des outils puissants pour décrire des déplacements, des orientations et pour construire des figures comme les parallélogrammes. Nous verrons comment utiliser les vecteurs pour analyser et construire des parallélogrammes.

Les vecteurs

Un vecteur est une quantité qui possède à la fois une direction, un sens et une norme (longueur). On le note souvent sous la forme →AB pour un vecteur allant du point A au point B.

Dans un plan, si \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) s'exprime en coordonnées par :

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

Les propriétés des vecteurs

• Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est égal à \(\overrightarrow{CD}\) si ils ont la même direction, le même sens, et la même norme.
• On peut additionner deux vecteurs \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) pour obtenir un vecteur \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]

• On peut également multiplier un vecteur par un nombre réel pour changer sa longueur.

Les parallélogrammes et vecteurs

Un parallélogramme peut être construit à partir de deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) qui partagent un sommet. Les côtés du parallélogramme sont représentés par ces vecteurs.

Si on place deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) à partir d’un même point O, alors le parallélogramme est formé par :

• Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) comme côtés adjacents,
• Le vecteur diagonal \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\), qui va du point O à un sommet diagonale.

La propriété clé est :
Le vecteur qui relie deux sommets opposés d’un parallélogramme est égal à la somme des vecteurs des deux côtés adjacents.

\[ 	ext{Si } ABCD 	ext{ est un parallélogramme, alors} \]
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]