Introduction

La trigonométrie permet d’étudier les relations entre les angles et les côtés dans un triangle rectangle. Elle est utilisée pour calculer des distances ou des angles inconnus.

Les ratios trigonométriques

Dans un triangle rectangle, considérons un angle \( heta\). Les ratios fondamentaux sont :

• sinus (sin) :
  \(\sin heta = rac{ ext{longueur du côté opposé}}{ ext{hypoténuse}}\)
• cosinus (cos) :
  \(\cos heta = rac{ ext{longueur du côté adjacent}}{ ext{hypoténuse}}\)
• tangente (tan) :
  \( an heta = rac{ ext{longueur du côté opposé}}{ ext{longueur du côté adjacent}}\)

Les relations importantes

Les ratios sin, cos et tan sont liés par des identités :

• \( \sin^2 heta + \cos^2 heta = 1 \)
• \( an heta = rac{\sin heta}{\cos heta} \)

Utilisation de la trigonométrie

Pour trouver un côté inconnu dans un triangle rectangle, on utilise :

• si on connaît un angle \( heta\) et un côté, on calcule l’autre côté avec sin, cos ou tan
• pour déterminer un angle, on inverse les relations à l’aide des fonctions trigonométriques inverses :

\( heta = rcsin \left( rac{ ext{opposé}}{ ext{hypoténuse}} ight) \) ,
\( heta = rccos \left( rac{ ext{adjacent}}{ ext{hypoténuse}} ight) \),
\( heta = rctan \left( rac{ ext{opposé}}{ ext{adjacent}} ight) \)

Exemples d’utilisation

Exemple 1 : Dans un triangle rectangle, un côté opposé à l’angle \( heta\) mesure 3 cm, et l’hypoténuse 5 cm. Trouvons \(\sin heta \) :

\[ \sin heta = rac{3}{5} = 0,6 \]

Exemple 2 : On connaît \(\cos heta = 0,8\) et l’hypoténuse=10 cm. La longueur du côté adjacent est :

\[ ext{adjacent} = \cos heta imes ext{hypoténuse} = 0,8 imes 10 = 8\,cm \]