Géométrie plane et démonstration

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de calculer les côtés ou les angles. Considérons un triangle rectangle ABC avec un angle droit en C.

Les côtés :

• l'hypoténuse : le côté oppose à l'angle droit, noté \( AB \)
• les deux autres côtés : \( AC \) et \( BC \)

Les fonctions trigonométriques

Pour un angle \( heta \) aigu du triangle :

• sinus : \( \sin heta = \dfrac{ ext{opposé}}{ ext{hypoténuse}} \)
• cosinus : \( \cos heta = \dfrac{ ext{adjacent}}{ ext{hypoténuse}} \)
• tangente : \( an heta = \dfrac{ ext{opposé}}{ ext{adjacent}} \)

Dans notre triangle, par exemple, si \( heta \) est l'angle en A, alors :

• \( \sin heta = \dfrac{BC}{AB} \)
• \( \cos heta = \dfrac{AC}{AB} \)
• \( an heta = \dfrac{BC}{AC} \)

Applications

Ces relations permettent de calculer un côté inconnu si on connaît un angle et un côté, ou de déterminer un angle si les longueurs sont données.

Propriétés des figures

Voici quelques propriétés importantes en géométrie plane :

Propriété 1 : égalité des angles

Si deux triangles ont deux angles et un côté égaux, alors ils sont semblables.

Propriété 2 : théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés adjacents à l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse :

\[ ext{Si } extbf{ABC} ext{ rectangle en C, alors } \quad AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Propriété 3 : Thalès

Dans un triangle, si une droite parallèle à un côté coupe les autres côtés, alors elle divise ces côtés en segments proportionnels.

Conclusion

La compréhension des relations trigonométriques dans le triangle rectangle et des propriétés des figures permet de résoudre de nombreux problèmes en géométrie. La maîtrise de ces outils est essentielle pour l'étude plus avancée de la géométrie plane.